Рельсотрон является электромеханической установкой, преобразующей электромагнитную энергию импульса тока i(t) в механическую энергию ускоряемого тела. В настоящее время в космической технике и научных исследованиях рельсотроны рассматриваются как перспективные электромагнитные ускорители тел массой m = 0,001..1 кг до скоростей v(t), достигающих 10 км/с [1, 2, 4, 7]. Рельсотрон состоит из двух параллельных металлических монолитных рельсов (шин), между которыми движется ускоряемое тело (рис. 1). При протекании тока по рельсам и телу за счет электромагнитной силы F тело ускоряется и может достичь скоростей, значительно превышающих скорость 1,8 км/с, которая является максимальной для ускорителей, использующих газодинамическое давление продуктов сгорания пороха. Внешнее относительно шин магнитное поле рельсотрона при импульсном токе в значительной степени определяет ускоряющую электромагнитную силу, механическое давление магнитного поля, действующее на шины, магнитный поток и индуктивность, а также магнитные индукции на поверхности шин и вокруг их. Поэтому расчет внешнего магнитного поля рельсотрона представляется актуальной задачей.
Рис. 1. Принципиальная схема рельсотрона: 1, 2 – одинаковые металлические монолитные шины; 3 – ускоряемое металлическое тело массой m; v(t) – скорость тела; F – ускоряющая тело электромагнитная сила; i(t) – электрический ток; a, b, c, – размеры ускоряемого тела и шин рельсотрона; x, y – оси прямоугольной системы координат
Методика расчета
Для исследования внешнего магнитного поля рельсотрона будем использовать уравнения магнитных цепей [6] и расчетную схему (рис. 2), представленную в силу симметрии для одной шины. При этом предположим, что длительность импульса тока i(t) достаточно мала и электромагнитное поле проникает в шины рельсотрона на незначительную глубину и этим полем в шинах можно пренебречь.
На 1 (м) длины рельсотрона для индукций B1, B2, B3 запишем длины участков λ1, λ2(β), λ3(β) и площади их поперечных сечений S1, S2(β), S3(β) соответственно (рис. 2):
(1)
(2)
тогда магнитные сопротивления этих участков будут равны [6]:
(3)
В результате магнитный поток на 1 (м) длины рельсотрона, замыкающийся вокруг одной шины, составит [6]:
, (4)
причем в объемах пространства внешнего магнитного поля одной шины
(5)
запасаются соответственно энергии (Дж/м):
(6)
Рис. 2. Расчетная схема внешнего магнитного поля рельсотрона: 1 – шина с током i(t), направленным «к нам»; B1, B2, B3 – средние магнитные индукции; BS1, BS2, BS3 – магнитные индукции на поверхности шины; B01, B02, B03 – магнитные индукции на границах внешнего магнитного поля; Ф – магнитный поток; β – расчетный безразмерный геометрический параметр; μ0 = 4π·10–7 Гн/м – магнитная проницаемость материала шин и пространства вокруг них
Введем безразмерную функцию, характеризующую удельную энергию магнитного поля в пространстве между шинами и зависящую от взаимного соотношения размеров a, b, c и параметра β:
(7)
На рис. 3 приведен характерный график функции (7), имеющий максимальное значение wm при параметре β = βm.
Очевидно, что для внешнего магнитного поля параметр β может изменяться от 0 ≈ 0,001 (бесконечно далекое расстояние до шин) до βm (наиболее вероятная величина), тогда усредненные значения с учетом (1, 2, 4) составят:
(8)
(9)
Рис. 3. Характерный график безразмерной функции w(β)
В результате, согласно (2, 9), определяем индуктивность внешнего магнитного поля рельсотрона (Гн/м)
(10)
и средние магнитные индукции:
(11)
Далее для индукций B01, B02, B03 (рис. 2) запишем соответствующие длины участков λ01, λ02(β), λ03(β):
(12)
тогда их усредненные значения будут такими:
(13)
По второму закону Кирхгофа для магнитной цепи [6] на основании рис. 2 с использованием (13) составляем систему уравнений:
; (14)
. (15)
Затем с учетом (2, 9) запишем усредненное значение магнитного потока:
(16)
тогда на основании (11, 16) получаем уравнения:
(17)
(18)
Из решения уравнений (14), (15), (17), (18) определяем в функции времени магнитные индукции:
(19)
(20)
причем при S3 ≥ S2 > S1 имеем B1 > B2 ≥ B3; B01 > B02 ≥ B03; BS1 > BS2 ≥ BS3.
С учетом (20) и [5, 6] находим действующие на шину вдоль оси x (рис. 2) наибольшее давление внешнего магнитного поля σx (Н/м2) и силу Fx (Н/м):
(21)
которые можно использовать для расчета механической прочности шин рельсотрона, причем индуктивность (10) определит ускоряющую тело электромагнитную силу [4, 5]:
(22)
Результаты расчета
По формулам (1)– (20) проведены расчеты внешнего магнитного поля рельсотронов с различным соотношением размеров a, b, c. В таблице приведены результаты этих расчетов и указаны индуктивности L1 рельсотронов, полученные по программе компьютерного моделирования Elcut [3] для медных шин при синусоидальном токе и частоте f = 50 кГц, когда имеет место существенный поверхностный эффект и влиянием внутреннего магнитного поля в шинах на величину этой индуктивности можно пренебречь.
Параметры внешнего магнитного поля рельсотронов с магнитным потоком Ф = 0,5aB1
Расчет |
Elcut |
|||||||||
|
|
βm |
|
|
|
|
|
|
L1 |
L1 |
– |
– |
– |
– |
– |
– |
– |
– |
– |
мкГн/м |
мкГн/м |
0,25 |
0,25 |
1,12 |
0,146 |
0,080 |
0,080 |
5,540 |
0,443 |
0,443 |
0,732 |
0,832 |
0,5 |
1,00 |
0,141 |
0,075 |
0,073 |
5,172 |
0,387 |
0,375 |
0,708 |
0,740 |
|
1 |
0,84 |
0,132 |
0,068 |
0,062 |
4,714 |
0,323 |
0,293 |
0,662 |
0,646 |
|
2 |
0,62 |
0,117 |
0,062 |
0,048 |
4,194 |
0,261 |
0,203 |
0,587 |
0,557 |
|
4 |
0,41 |
0,089 |
0,066 |
0,034 |
3,567 |
0,235 |
0,121 |
0,449 |
0,479 |
|
0,5 |
0,25 |
1,09 |
0,247 |
0,078 |
0,078 |
3,504 |
0,274 |
0,274 |
0,620 |
0,674 |
0,5 |
0,99 |
0,241 |
0,074 |
0,072 |
3,407 |
0,251 |
0,244 |
0,605 |
0,619 |
|
1 |
0,84 |
0,228 |
0,069 |
0,062 |
3,289 |
0,225 |
0,204 |
0,572 |
0,555 |
|
2 |
0,64 |
0,204 |
0,063 |
0,049 |
3,143 |
0,199 |
0,155 |
0,513 |
0,491 |
|
4 |
0,43 |
0,160 |
0,068 |
0,035 |
2,940 |
0,200 |
0,104 |
0,402 |
0,431 |
|
1 |
0,25 |
1,04 |
0,379 |
0,075 |
0,075 |
2,369 |
0,178 |
0,178 |
0,477 |
0,509 |
0,5 |
0,96 |
0,373 |
0,072 |
0,070 |
2,346 |
0,169 |
0,164 |
0,469 |
0,467 |
|
1 |
0,83 |
0,358 |
0,068 |
0,062 |
2,331 |
0,159 |
0,144 |
0,450 |
0,433 |
|
2 |
0,66 |
0,328 |
0,065 |
0,051 |
2,326 |
0,152 |
0,118 |
0,412 |
0,398 |
|
4 |
0,45 |
0,266 |
0,072 |
0,037 |
2,332 |
0,167 |
0,087 |
0,335 |
0,359 |
|
2 |
0,25 |
0,98 |
0,521 |
0,071 |
0,071 |
1,764 |
0,125 |
0,125 |
0,327 |
0,349 |
0,5 |
0,91 |
0,516 |
0,069 |
0,067 |
1,758 |
0,121 |
0,118 |
0,324 |
0,332 |
|
1 |
0,82 |
0,503 |
0,067 |
0,061 |
1,763 |
0,119 |
0,108 |
0,316 |
0,315 |
|
2 |
0,68 |
0,471 |
0,067 |
0,052 |
1,788 |
0,120 |
0,093 |
0,296 |
0,294 |
|
4 |
0,49 |
0,401 |
0,076 |
0,040 |
1,853 |
0,141 |
0,074 |
0,252 |
0,276 |
|
4 |
0,25 |
0,90 |
0,643 |
0,066 |
0,066 |
1,447 |
0,096 |
0,096 |
0,202 |
0,218 |
0,5 |
0,86 |
0,641 |
0,066 |
0,064 |
1,445 |
0,095 |
0,092 |
0,201 |
0,211 |
|
1 |
0,79 |
0,632 |
0,066 |
0,059 |
1,449 |
0,095 |
0,086 |
0,198 |
0,203 |
|
2 |
0,69 |
0,606 |
0,068 |
0,053 |
1,471 |
0,100 |
0,078 |
0,191 |
0,197 |
|
4 |
0,54 |
0,542 |
0,082 |
0,043 |
1,531 |
0,125 |
0,065 |
0,170 |
0,188 |
Согласно результатам, приведенным в таблице, рассчитанные индуктивности L1 удовлетворительно совпадают с индуктивностями, которые получены программой Elcut при соотношениях размеров рельсотронов 0,25 < c/a < 4 и 0,25 < b/a < 4. При этом наибольшие значения геометрического параметра βm, индуктивности (10), механического давления и сил (21), (22), а также наибольшие величины магнитных индукций (11), (19), (20) при одинаковом токе соответствуют наименьшим соотношениям размеров рельсотронов c/a и b/a.
Заключение
1. Предложена методика расчета внешнего магнитного поля рельсотронов при достаточно малой длительности импульса тока, когда электромагнитное поле проникает в шины рельсотрона на незначительную глубину. Эта методика позволяет определять механическое давление и силу, действующие на шины, магнитный поток и индуктивность, а также ускоряющую электромагнитную силу и магнитные индукции.
2. Разработанная методика получена на основе уравнений магнитных цепей, которые могут программироваться в среде Mathcad для автоматизированного инженерного расчета внешнего магнитного поля рельсотронов.
3. Для внешнего магнитного поля рельсотрона наибольшие значения индуктивности, механического давления и сил, а также наибольшие величины магнитных индукций при одинаковом токе соответствуют наименьшим размерам шин по сравнению с расстоянием между ними.
4. Достоверность методики подтверждается удовлетворительным совпадением результатов расчета индуктивности внешнего магнитного поля с индуктивностями, которые получены при помощи программы компьютерного моделирования Elcut при существенном поверхностном эффекте в шинах.
Рецензенты:Усов Ю.П., д.т.н., профессор кафедры ЭСиЭ ЭНИН, ФГБОУ ВПО «Национальный исследовательский Томский политехнический университет», г. Томск;
Канев Ф.Ю., д.ф.-м.н., ведущий научный сотрудник института оптики атмосферы им. В.Е. Зуева СО РАН, г. Томск.
Работа поступила в редакцию 05.12.2013.
Библиографическая ссылка
Носов Г.В., Лусс А.А. РАСЧЕТ ВНЕШНЕГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ РЕЛЬСОТРОНОВ // Фундаментальные исследования. – 2013. – № 10-15. – С. 3363-3367;URL: https://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=33067 (дата обращения: 17.08.2024).