В работе сформулирована и исследована краевая задача для смешанного уравнения второго порядка в ограниченной области с локальными краевыми условиями. На линии изменения типа уравнения применены разрывные условия сопряжения для следа функции и следа производной. В качестве основного метода доказательства разрешимости поставленной задачи был использован метод конечных интегральных преобразований. При этом вопрос разрешимости задачи был эквивалентно редуцирован к вопросу разрешимости обыкновенных дифференциальных уравнений в соответствующих частях смешанной области. В частности, в области параболичности исходного уравнения было получено обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, решение которого представлено в виде комбинации общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Определив коэффициенты в полученных общих интегралах дифференциальных уравнений, решение исследуемой задачи можно найти после применения обратного интегрального преобразования.
The paper was formulated and studied a mixed boundary value problem for second-order equations in a bounded domain with local boundary conditions. In the Line of changing the type of equation used explosive coupling conditions for the following functions and the following derivatives. As the main method of proof of the solvability of the problem, we used the method of integral transformations. At the same time, the question was equivalent to the solvability of the problem is reduced to the question of the solvability of ordinary differential equations in the relevant parts of the mixed area. In particular in the field of parabolic initial equation was obtained ordinary differential equation of the first order, the solution of which is represented by a combination of the general solution of the homogeneous equation and a particular solution of inhomogeneous. Determine the coefficient obtained in the general integrals of differential equations, the solution of the problem can be found after the application of the inverse integral transform.
1. Елеев В.А., Гучаева З.Х. Об одной краевой задаче для уравнения гиперболо-параболического типа второго порядка в прямоугольной области // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. – 2011. – № 6. – С. 34–40.
2. Елеев В.А., Жемухова З.Х. О некоторых краевых задачах для одного смешанного уравнения с разрывными коэффициентами в прямоугольной области // Владикавказский математический журнал. – 2002. – Т. 4. – № 4. – С. 8–18.
3. Лесев В.Н. Исследование разрешимости краевых задач для уравнения четвертого порядка методом конечных интегральных преобразований // Современные проблемы математики: материалы международной конференции. – Махачкала: ДГТУ, 2006. – С. 44–46.
4. Лесев В.Н., Желдашева А.О. Неклассическая краевая задача для смешанного уравнения второго порядка с интегральными условиями сопряжения // Известия смоленского государственного университета. – 2013. – № 3 (23). – С. 379–386.
5. Лесев В.Н., Желдашева А.О. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа второго порядка в характеристической области // Вестник Адыгейского государственного университета. Серия 4: Естественно-математические и технические науки. – 2012. – № 3 (106). – С. 52–56.
6. Лесев В.Н., Желдашева А.О. Об одной краевой задаче для смешанного уравнения с разрывными условиями сопряжения // Известия смоленского государственного университета. – 2012. – № 3 (19). – С. 392–399.
7. Лесев В.Н., Шарданова М.А. О разрешимости краевых задач для неоднородного уравнения высокого порядка с переменными коэффициентами // Theoretical & Applied Science. – 2014. – № 12 (20). – С. 101–103.
8. Лесев В.Н., Шарданова М.А. Применение метода конечных интегральных преобразований к исследованию краевой задачи для уравнения высокого порядка // Theoretical & Applied Science. – 2014. – № 5 (13). – С. 1–4.
9. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров: пер. с англ. – М.: Мир, 1985.
10. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1969.