Рассматриваются дискретные системы, описываемые линейными разностными уравнениями третьего порядка с действительными коэффициентами. Исследована граница области асимптотической устойчивости нулевого решения в пространстве коэффициентов уравнения. Полностью описаны свойства корней их характеристических уравнений на границе области устойчивости в трехмерном пространстве параметров. Для всех точек на границе указаны расположения каждого из трех корней относительно единичного круга в комплексной плоскости. Выписаны общие решения разностных уравнений для случаев, когда параметры находятся на указанной границе. Сделаны выводы об асимптотических свойствах траекторий этих систем посредством разделения точек границы на устойчивые и неустойчивые. Указано также разделение точек границы по признаку наличия – отсутствия колебательных (периодических, псевдошумовых) решений. Ставится задача поиска областей частичной устойчивости в пространстве начальных значений.
Discrete systems of third order are considered. The systems described by the linear difference equations with the real coefficients. The boundary of the asymptotic stability domain of the zero solution is examined in the space of the coefficients of the equation. We fully have described the properties of the roots of their characteristic equation, when the system is on the boundary of the stability domain in the parameters space. For all points on the border we specified the location of each of the three roots with respect to the unit circle in the complex plane. We write the general solution of the difference equation for the cases when the parameters are on the specified boundary. The conclusions are made about the asymptotic properties of the trajectories of these systems by separating the points of the boundary on stable and unstable points. Also we have separated the points of the boundary on the basis of the presence-absence of oscillatory (periodic, pseudo-chaotic) solutions. We posed the search problem for the domains of partial stability in the space of initial values.
1. Баутин H.H. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости. М.: Наука, 1984. – 176 с.
2. Васильев М.Д. Исследование одной математической модели трeхвидовой конкуренции // Математические заметки ЯГУ. – 2003. – Т. 10, № 2. – C. 33–39.
3. Джури Э. Импульсные системы автоматического регулирования. – М.: Физматгиз, 1963. – 456 с.
4. Кипнис М.М., Нигматулин Р.М. Устойчивость трехчленных линейных разностных уравнений с двумя запаздываниями // Автоматика и телемеханика. – 2004. – № 11. – С. 25–39.
5. Козак А.Д., Новоселов О.Н. Асимптотическое поведение решений линейного однородного разностного уравнения второго порядка // Математические заметки. – 1999. – Т. 66, Вып. 2. – С. 211–215.
6. Кудинов А.Ф. Общее решение разностного уравнения третьего порядка // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. – 2009. – № 2. – С. 69–70
7. Садовский П.А. Критические случаи устойчивости математической модели трехвидовой популяции // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия «Естественные науки». – 2006. – № 4. – С. 61–71.
8. Elaydi S. An introduction to difference equations. New York: Springer, 2005. – 546 p.
9. Parhi N., Tripathy A.K. On the behavior of solutions of a class third order difference equations // Journal of Difference Equations and Applications. – 2002. – Vol. 8, № 5. – P. 415–426.