Объектом исследования настоящей работы являются квазилинейные системы уравнений с линейными дифференциальными операторами в частных производных первого порядка и с коэффициентами, зависящими от характеристик. Ставится задача об исследовании существования и единственности многопериодического решения квазилинейной системы. Для решения данной задачи используется метод приведения к каноническому виду матрицы системы на основе линейного преобразования. В работе устанавливаются условия, при которых собственные функции матрицы системы обладают свойствами многопериодичности и гладкости, получены условия приводимости дифференциальной системы к каноническому виду, условия существования и единственности многопериодического решения квазилинейной системы уравнений в частных производных первого порядка, в терминах собственных значений и функции Грина. Доказательство существования многопериодического решения уравнения канонического вида приводится на основе принципа неподвижных точек для оператора, определенного в пространстве непрерывно дифференцируемых функций, ограниченных по норме. Записано интегральное представление решения.
Object of research of this paper are quasi-linear systems of equations with linear differential operators of the first order partial derivatives with coefficients depending only on the characteristics. The task of research the existence and uniqueness of multiperiodic solutions of quasi-linear system. To solve this problem, we use the method of reduction to canonical form of matrix system by the linear transformation. We establish conditions in which the eigenfunctions of matrix system have properties of multiperiodic and smoothness, obtained the conditions for reducibility of differential system to the canonical form, conditions of the existence and uniqueness of multiperiodic solution of quasi-linear system of equations of the first order partial derivatives in terms of eigenvalues and Green’s function. Proof of the existence multiperiodic solution of equation of canonical form is given on the basis of fixed points for the operator defined in the space of continuously differentiable functions, bounded by norm. Integral representation of the solution is presented.
1. Вазов В.А. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Мир, 1968. – 464 с.
2. Мухамбетова А.А. Устойчивость линейных уравнений в частных производных второго порядка с колебательными коэффициентами. Международный журнал экспериментального образования. – 2013. – № 4. – С. 120–124.
3. Мухамбетова А.А., Сартабанов Ж.А. Об ограниченности решений линейных D-уравнений второго порядка с многопериодическим потенциалом //Математический журнал. – Алматы, 2003. – Т. 3, № 1 (7). – С. 68–73.
4. Самойленко А.М., Лаптинский В.Н., Кенжебаев К.К. Конструктивные методы исследования периодических и многоточечных краевых задач. – Киев: ИМ НАН Украины, 1999. – 220 с.
5. Сартабанов Ж.А. О краевой задаче для D-уравнений второго порядка. Известия АН КазССР, сет. физ-мат, 1992. – № 3. – С. 59–64.
6. Mukhambetova A.A., Sartabanov Zh.A. Stability of solutions the system of differential equations with multivariate time. Aktobe: Print A, 2007. – 168 p.
7. Mukhambetova A.A., Sartabanov Zh.A. Research of multiperiodic solutions of quasi-linear system in the first order partial derivatives. Bulletin d’Eurotalent-Fidjip, 2014. – № 4. Р. 33–37.
8. Sibuya Y. Some global properties of matrices of functions of one variable. Math. Ann. 161 (1969), 67–77.
9. Vejvoda O. Partial differential equations: time periodic solutions. The Hague/ Boston/ London, 1982. – 357 p.