Научный журнал

Фундаментальные исследования

ISSN 1812-7339

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,674

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Адамадзиев К.Р. 1 Халилов М.А. 1

---

1 ФГБОУ ВО «Дагестанский государственный университет»

Настоящая статья посвящена выявлению и оценке взаимосвязей между четырьмя ключевыми экономическими показателями групп регионов России методами математического и компьютерного моделирования. Целью исследования является выявление методами моделирования зависимости объема производства валового регионального продукта от объемов трех ключевых ресурсов в целом по всем регионам и в разрезе трех их групп, описание этих зависимостей в виде математических моделей, а также анализ их параметров и характеристик. Для достижения поставленной цели решены следующие задачи: дана формулировка задачи по выявлению искомых зависимостей и определено ее информационное обеспечение; разработан алгоритм и выполнены расчеты, связанные с определением параметров уравнений производственных функций и их статистических характеристик; построены уравнения производственных функций, выражающие зависимость объемов валового регионального продукта от стоимости основных фондов, численности занятых в экономике и объемов инвестиции для совокупности всех регионов России и трех групп регионов (малых, средних и крупных) по данным за 2005, 2010 и 2014 гг.; сформирован комплекс взаимосвязанных таблиц с результатами, проведен их анализ и сформулирован ряд выводов, представляющий, по мнению авторов, теоретический и практический интерес.

Статья в формате PDF

0 KB

производственная функция

экономика

регион

группировка

связь

зависимость

регрессия

показатель

совокупность объектов

временной период

анализ

метод

модель

уравнение

1. Адамадзиев К.Р., Адамадзиева А.К. Компьютерное моделирование в экономике: учебное пособие. – Махачкала: Издательско-полиграфический центр ДГУ, 2014. – 211 с.

2. Ковалев В.В. Финансовый анализ: методы и процедуры. – М.: Финансы и статистика, 2005. – 560 с.

3. Мельник М.В., Поздеев В.Л. Теория экономического анализа: учебник для магистров. – М.: Изд-во Юрайт, 2014. – 261 с.

4. Розанов Г.В., Френкель Л.А. Корреляционный и регрессионный анализ в экономических исследованиях // Экономика и математические методы. – 1967. – т. III, Вып. 3.

5. Эконометрика: учебник / под ред. И.И. Елисеевой. – 2-e изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2005. – 576 с.

Связи и зависимости – понятия, широко применяемые в различных сферах экономики. Различают два их вида: функциональные и корреляционно-регрессивные. Первые представляют собой точные и однозначные связи (зависимости), вторые – выражают усредненные или приближенные связи (зависимости) для совокупности объектов, называемой статистической (выборочной) совокупностью. Связи и зависимости принято выражать в виде математических формул (равенств, неравенств, уравнений). Если зависимость одного экономического показателя от одного, двух и более других выражена в виде уравнения, то зависимый показатель принято называть результативным, а независимые – показателями-факторами. Среди связей и зависимостей в экономике особое место занимают таковые между показателями затрат ресурсов и выпуска продукции, которые называются производственными функциями [1, 2, 3, 4, 5].

К показателям, на основе которых можно строить модели производственных функций на региональном уровне, можно отнести в первую очередь четыре ключевых показателя: валовой региональный продукт, стоимость основных фондов, численность занятых в экономике и инвестиции. Данные по этим показателям публикуются в статистических ежегодниках «Россия в цифрах». Экономики регионов существенно различаются. Поэтому целесообразно проводить анализ моделей производственных функций не только в целом по стране, но и в разрезе различных групп регионов. Модели производственных функций групп регионов и страны в целом различаются и за разные временные периоды. Иными словами, актуальность исследований, посвященных выявлению, описанию и анализу производственных функций экономических объектов любого уровня, не вызывает сомнений.

Группировать регионы, как и другие экономические объекты, можно по-разному. В частности, все регионы нами разбиты на три группы: малые, средние и крупные. Деление регионов на группы осуществлено по показателю «валовой региональный продукт». Для рассматриваемых показателей приняты следующие обозначения: для валового регионального продукта – Y, в млрд руб.; стоимости основных фондов – K, млрд руб., численности занятых в экономике – L, в тыс. чел., объемов инвестиций – I, в млрд руб. При этом построены и анализируются две двухфакторные зависимости:

а) валового регионального продукта от стоимости основных фондов и численности занятых в экономике (Y от K, L);

б) валового регионального продукта от численности занятых в экономике и объемов инвестиций (Y от L, I).

Для каждой группы регионов и в целом по всем регионам за каждый год построены по четыре уравнения (два линейных и два степенного вида) производственных функций:

– линейного вида

Y = b + m₁·K + m₂·L; Y = b + m₁·L + m₂·I;

– степенного вида

Расчет и анализ статистических характеристик для других видов уравнений (гиперболического, показательного и полиномиального и др.) показал, что их приемлемость для оценки искомых зависимостей существенно ниже, чем уравнений линейного и степенного видов. Выполнены следующие расчеты: параметров, статистических характеристик и ряда производных показателей (табл. 1).

Перечисленные показатели из табл. 1 можно рассчитать с помощью разных методов и моделей. Все расчеты нами выполнены с помощью встроенных математических и статистических функций из MS Excel. Величины рассчитанных показателей уравнений для двухфакторных производственных функций линейного вида, выражающих зависимость ВРП от затрат ресурсов для всей совокупности регионов страны, характеризуют данные, приведенные в табл. 2. Такие же показатели рассчитаны и для трех групп регионов.

Параметр b (свободный член уравнения) в уравнениях регрессии линейного вида не имеет экономического смысла, но параметры при независимых показателях-факторах (m1, m2 и m2, m3) всегда имеют экономический смысл: они показывают величину роста результативного показателя Y (ВРП, в млрд руб.) при увеличении каждого из ресурсов на одну абсолютную единицу.

Отметим также, что одна из важных статистических характеристик, называемая предельной эффективностью и определяемая как производная Y по K (Y по L; Y по I), численно равна коэффициенту при показателе-факторе, т.е.

Таблица 1

Перечень рассчитываемых показателей и их обозначение

Таблица 2

Величины параметров и статистических характеристик, рассчитанные и анализируемые для линейных двухфакторных моделей производственных функций по данным для всей совокупности регионов России, построенных по данным за 2005, 2010 и 2014 гг.

По величинам параметров m1, m2 и m2, m3 построенных нами уравнений производственных функций, характеризующим предельную эффективность использования основных фондов, трудовых ресурсов и инвестиций, можно сформулировать следующие выводы:

– по данным за 2005 г. параметр m1 по группам регионов от малых до крупных увеличивался, т.е. предельная эффективность основных фондов росла; предельная эффективность трудовых ресурсов в малых регионах оказалась положительной, а в средних и крупных – отрицательной; в 2010 и в 2014 годах предельная эффективность основных фондов и трудовых ресурсов была положительной и росла вместе с увеличением размеров регионов (исключение составила эффективность основных фондов в 2010 г. – по малым регионам она оказалась выше, чем по средним);

– величина предельной эффективности основных фондов (m1) по группам регионов в динамике изменялась следующим образом: по малым в 2010 г. увеличилась, в 2014 г. уменьшилась; по средним – наоборот; по крупным регионам в оба периода увеличилась; в среднем по всем регионам предельная эффективность в динамике уменьшилась; предельная эффективность трудовых ресурсов в динамике выросла по всем трем группам регионов и по всем регионам в целом;

– в соответствии с параметрами зависимости Y от L, I: эффективность трудовых ресурсов (m2) в 2005 г. по группам регионов от малых до крупных снизилась, в 2014 г. имело место уменьшение – рост; эффективность инвестиций (m3) менялась по схеме уменьшение – рост в 2005 г., рост-уменьшение в 2010 и рост в 2014 г.; динамика изменения m2 по рассматриваемым периодам была следующей: по малым, средним и по всем регионам имел место рост, по крупным – рост – уменьшение; динамика изменения m3: по малым регионам – уменьшение, по средним – рост, по крупным и по всем регионам – уменьшение – рост.

Построенные уравнения производственных функций целесообразно записывать в математическом виде. В качестве примера в табл. 3 приведена математическая запись линейных уравнений для производственных функций за 2014 г.

Из табл. 3 видно, что:

– во-первых, предельные эффективности обоих ресурсов (т.е. параметры m1 и m2) для зависимости Y от K, L в 2014 г. и параметра m3 в уравнениях производственных функций для зависимости Y от L, I по группе средних регионов выше, чем по малым, но ниже, чем по группе крупных;

– во-вторых, величина параметра m2 в уравнениях для производственных функций, выражающих зависимость Y от L, I являются максимальной по группе малых регионов, а минимальной – по группе средних регионов;

Таблица 3

Математическая запись уравнений производных функций линейного вида, построенных по данным регионов России за 2014 г.

– в-третьих, суммарные величины m1 + m2 и m2 + m3 в разрезе регионов растут от малых до крупных.

Отметим, что суммарные величины m1 + m2 и m2 + m3 показывают абсолютную величину роста ВРП (в млрд руб.) при одновременном увеличении каждого из ресурсов на одну абсолютную единицу:

а) стоимости основных фондов на 1 млрд руб. и численности занятых в экономике на 1 тыс. чел.;

б) численности занятых в экономике на 1 тыс. чел. и объема инвестиций на 1 млрд руб.

Преимущественно двух факторных и более уравнений регрессии по сравнению с однофакторным уравнением состоит в том, что с их помощью можно определить ряд ценных аналитических показателей, среди которых особое место занимают изокванта и предельные нормы взаимозаменяемости показателей-факторов.

Изоквантой называется совокупность значений показателей-факторов, при которых результативный показатель принимает одно и то же значение.

Изокванта представляет собой математическую формулу, с помощью которой один из показателей факторов выражен через другие. При этом величина зависимого показателя принимается за постоянную величину (const). По данным табл. 3 покажем, например, методику составления формулы для изокванты для зависимости Y от K, L:

1) Y = 19,8 + 0,1572·K + 0,1849·L;

2) Примем Y за const и выразим K через L, т.е.

K = 0,1572

и/или L = (Y – 19,8 + 0,1572·K)/0,1849 с. 6.

Приняв величину ВРП равной ее средней арифметической величине и выполнив соответствующие расчеты, авторы получили следующие уравнения изоквант для всех регионов России за три рассматриваемых временных периода:

за 2005 г. K = 4140,8 – 0,0907·L;

за 2010 г. K = 1096,7 – 0,4904·L;

за 2014 г. K = 2049,9 – 0,9956·L.

Как известно, в уравнениях производственных функций показатели-факторы (в нашем случае K и L; L и I) являются взаимозаменяемыми. В соответствии с теорией о производственных функциях можно определить предельные нормы этих взаимозаменяемостей.

Они определяются по формулам изоквант как произведение одних показателей-факторов от других. В нашем случае это есть производные: и [1, 4, 5].

В случае производственных функций линейного вида предельные нормы взаимозаменяемости являются числовыми величинами, получаемыми по формулам m2/m1 и m1/m2. Предельная норма взаимозаменяемости показывает, какая величина одного ресурса требуется, чтобы заменить одну единицу другого. В нашем случае в соответствии с уравнениями производственных функций за 2014 г., чтобы заменить численности работников в 1 тыс. чел. требовалось основных фондов: малым регионам – 1,176; средним – 1,042; крупным – 1,489 и регионам в целом по стране – 0,996 млрд руб.

Как показывает анализ, предельные нормы основных фондов и инвестиций, требуемые для замены 1 тыс. чел., по группам регионов и в целом по стране увеличились в разы.

Проведенный нами анализ коэффициентов отношений предельных норм групп средних и крупных регионов к их величинам по группе малых регионов (малые регионы приняты за 1,00) показывает отсутствие однозначного влияния размеров регионов на величины предельных норм взаимозаменяемости ресурсов.

Главными аналитическими показателями уравнений регрессии, в т.ч. и для производственных функций являются параметры, изокванты, предельные нормы взаимозаменяемости показателей-факторов и др.

Однако, прежде чем анализировать перечисленные параметры, требуется оценить: во-первых, наличие зависимости, ее вид и степень точности этой зависимости; во-вторых, сравнительную приемлемость различных видов уравнений (как линейного, так и нелинейного видов).

Для решения таких задач эконометрической теорией предложен инструментарий статистических характеристик. Некоторые из таких характеристик приведены в табл. 1.

В учебной литературе по эконометрике рассматривают около трех десятков таких характеристик [1, 4, 5]. Для оценки приемлемости уравнений нет необходимости рассчитывать и анализировать все эти характеристики. С нашей точки зрения, можно ограничиться рассмотрением наиболее значимых характеристик, к которым можно отнести: стандартную ошибку для зависимой переменной (sey), коэффициент детерминации (R), F-критерий Фишера, среднюю ошибку аппроксимации и др. Три из этих характеристик определены средствами статистических функций MS Excel, а четвертый – средняя ошибка аппроксимации рассчитана по формуле

где sey – стандартная ошибка для y; – средняя арифметическая величина ВРП.

В табл. 4 приведены величины статистических характеристик для уравнений производственных функций линейного вида, выражающих зависимость ВРП (Y) от стоимости основных фондов (K), численности занятых в экономике (L) и объема инвестиций (I) по группам регионов России за 2005, 2010 и 2014 гг.

В соответствии с величиной R (коэффициент детерминации) из табл. 4 все уравнения производственных функций для малых, крупных и всех регионов являются приемлемыми, поскольку величина этого коэффициента составляет более 0,8 и считается высокой. Для группы средних регионов величины R ниже, чем для других групп регионов, но также являются приемлемыми (корреляционную связь можно считать средней), исключение составляет зависимость ВРП от L и I за 2005 г. (R = 0,32), но и такую связь можно считать приемлемой (на удовлетворительном уровне).

По величине F-критерия Фишера все уравнения производственных функций можно считать приемлемыми (но также в разной степени).

Более определенные выводы о приемлемости можно делать по средней ошибке аппроксимации (A). Если величина A менее 10 %, то связь считается хорошей. Таких связей в нашем случае нет. В семи случаях из 12-ти для зависимости Y от K, L 10 < А < 20, а в остальных случаях 20 < А < 22. Примерно такая же картина наблюдается и для зависимости Y от L, I: в пяти случаях А < 20, а в остальных случаях 20 < А < 26 [1, 4, 5].

Таблица 4

Величины статистических характеристик для уравнений производственных функций линейного вида, выражающих зависимость ВРП (Y) от стоимости основных фондов (K), численности занятых в экономике (L) и объема инвестиций (I) по группам регионов России за 2005, 2010 и 2014 гг.

Вышеприведенный анализ показателей для уравнений производственных функций линейного вида (параметров, статистических характеристик, предельных норм взаимозаменяемости ресурсов) свидетельствует о целесообразности проведения такого анализа и полезности сформулированных выводов для принятия управленческих решений.

При всей ценности и приемлемости результатов, полученных на основе уравнений производственных функций линейного вида, следует исследовать и другие виды уравнений. В частности, нами построены и исследованы уравнения для производственных функций степенного вида. Величины параметров уравнений регрессии построенных нами производственных функций степенного вида для обеих зависимостей (Y от K, L и Y от L, I) приведены в табл. 5.

Параметр (b) в случае степенной зависимости экономического смысла не имеет. Но параметры при переменных (т.е. показатели степеней) всегда имеют экономический смысл. Это обусловлено тем, что параметры в степенных уравнениях равны показателям, называемым коэффициентами эластичности , рассчитываемыми по формуле

где – предельная эффективность i-го показателя-фактора; xi – величина i-го показателя-фактора. В случае степенной зависимости , т.е. представляют собой числовые величины, во всех остальных видах уравнений регрессии является переменной величиной, выражаемой вышеприведенной формулой его определения [1, 4, 5].

В уравнениях производственных функций степенного вида показатели степенной (коэффициенты эластичности) можно складывать (m1 + m2 и m2 + m3). При этом суммарные величины представляют собой величины роста результативного показателя в процентах при одновременном увеличении на 1 % обоих ресурсов, входящих в уравнение. Полученная сумма может быть больше, меньше или равна единице. Если сумма коэффициентов эластичности больше единицы, то говорят об эффекте масштаба, если меньше единицы, то – об отсутствии эффекта масштаба.

Анализ величин m1 + m2 и m2 + m3 из табл. 3 показывает отсутствие эффекта масштаба по обоим видам зависимостей (Y от K, L и Y от L, I) во всех трех группах регионов за все три рассматриваемых временных периода. Но такой эффект имеет место в целом по всем регионам за все рассматриваемые временные периоды. При этом по уравнениям обоих зависимостей Y от K, L и Y от L, I эффект масштаба оказался в 2005 г. максимальным, а в 2010 г. минимальным.

По табл. 5 сформулируем ряд важных, с нашей точки зрения, выводов:

– величины коэффициентов эластичности для зависимости Y и K, L показывают, что, во-первых, прирост производительности труда за счет увеличения стоимости основных фондов значительно выше, чем от увеличения численности работников; во-вторых, с ростом размеров регионов эластичность фондов повышается, а эластичность труда уменьшается; в-третьих, коэффициент эластичности основных фондов в 2014 г. по сравнению с 2005 г. значительно снизился, а эластичности труда – вырос;

Таблица 5

Величины параметров уравнений производственных функций степенного вида, выражающих зависимость ВРП (Y) от стоимости основных фондов (K), численности занятых в экономике (L) и объема инвестиций (I) по группам регионов России за 2005, 2010 и 2014 гг.

– в соответствии с уравнениями для зависимости Y от K, L эластичность труда по малым и средним регионам ниже, чем по крупным, и ниже, чем эластичность инвестиций; во-вторых, коэффициенты эластичности труда по малым и средним регионам в 2014 г. по сравнению с 2005 г. выросли, а по крупным – уменьшились;

– в целом по всем регионам России эластичность основных фондов и инвестиций в 2014 г. по сравнению с 2005 г. уменьшилась, а эластичность труда – увеличилась.

Анализ трех наиболее значимых статистических характеристик (коэффициента детерминации (R), F-критерия Фишера, средней ошибки аппроксимации (A)) для уравнений производственных функций степенного вида позволяет сформулировать ряд выводов. В частности, по величинам средней ошибки аппроксимации все рассматриваемые зависимости степенного вида можно считать «хорошими» (во всех случаях A < 10 %). Отметим также, что средняя ошибка аппроксимации по уравнениям производственных функций степенного вида значительно (в разы) меньше, чем по уравнениям линейного вида.

Несмотря на определенные преимущества уравнения степенного вида, считаем целесообразным и оправданным построение, оценку и применение обоих видов уравнений (линейного и степенного видов).

В заключение отметим, что в рамках проведенного исследования нами разработана и реализована на ПЭВМ компьютерная модель, позволяющая автоматизировать все расчеты и процедуры обработки информации, а также формировать весь комплекс аналитических таблиц для любых групп регионов за любой временной период.

Библиографическая ссылка