Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,118

ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА, ПОРОЖДЕННОГО ЕСТЕСТВЕННОЙ НОРМОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ СОБОЛЕВА

Корытов И.В.
В статье дается обоснование правомерности применения оценок фундаментального решения известного дифференциального оператора к фундаментальному решению оператора, порожденного естественным способом нормирования пространств Соболева. Необходимость использования таких оценок возникает в теории кубатурных формул при нахождении норм функционалов погрешности.

Целью работы является обоснование правомерности применения верхних оценок фундаментального решения известного оператора к фундаментальному решению оператора, порожденного естественной нормировкой пространств Соболева.

1. Естественная норма в пространстве Соболева. Объектом нашего внимания будут пространства Соболева f, состоящие из функций, заданных на множестве Rn, и f, состоящие из периодических функций с единичной матрицей периодов. В последнем случае в качестве фундаментальной области выступает единичный куб с отождествленными противоположными гранями f: ff  . Норма в этих пространствах будет задана в виде

f(1)

f    (2)

в обеих формулах f. Предельные значения показателя суммируемости индуцируют новые пространства. При p=1 выражения (1) и (2) изменятся очевидным образом

f         (3)

f         (4)

В эти пространства объединяются функции, обобщенные частные производные которых суммируемы в Rn или в Q.

Выписывание естественных норм в f и f предварит следующее утверждение.

Теорема 1. Для любого конечного числа измеримых существенно ограниченных в совокупности на Rn функций fk, таких, что |fk|p суммируемы при всех достаточно больших p и

f

выполняется равенство

f                 (5)

Замечание. Условие существования конечного предела при f в случае интегрирования по Rn или любой неограниченной области f предполагает исключение из рассматриваемого класса таких функций, как f, f и других, для которых несобственный интеграл расходится. Если же интегрирование происходит по ограниченной области f, то для таких функций утверждение теоремы остается справедливым.

Доказательство теоремы 1. Здесь будет использована идея из [1], примененная там для вывода нормы функции в пространстве f. С учетом обозначения f можно построить неравенство

f

f  (6)

Интеграл справа с показателем f мало отличается от интеграла с показателем p при больших значениях этого показателя, а потому

f(7)

откуда следует, что

f                           (8)

По определению существенного максимума как верхней грани числового множества для любого положительного ε, не превосходящего M, существуют значения fk, удовлетворяющие неравенству f f , причем для выполнения последнего необходимо существование ограниченного множества f ненулевой меры, в каждой точке которого определены указанные значения. Так как f, можно записать обратное неравенство

f

f     (9)

Операция взятия нижнего предела приводит к неравенству

f                         (10)

С учетом произвольности ε из (8) и (10) следует утверждение теоремы.

Таким образом, для (1) и (2) предельными при p→∞ будут нормы

f(11)

f(12)

Эти пространства будут включать в себя функции, существенно ограниченные в Rn или, соответственно, в Q со своими обобщенными частными производными.

Поскольку излагаемые факты нацелены на применение в области кубатурных формул, то следует оговорить условие, при котором они имеют смысл. Кубатурная сумма, приближающая интеграл, представляет собой с точки зрения функционала линейную комбинацию дельта-функций δ(x), которые имеют смысл при воздействии на непрерывные пробные функции, отсюда требование вложения основного пространства в пространство непрерывных функций f, что выражается неравенством mp>n (n - размерность Rn) [2].

2. Фундаментальное решение вспомогательного оператора. В качестве такового будет использован оператор

f               (14)

порожденный нормой, введенной в [3]

f(15)

В этих двух формулах Δ - оператор Лапласа.

Не приводя вида фундаментального решения G(|x|) оператора (14) и его оценок по множествам |x|<1 и |x|>1, укажем источник их получения [1]. Оценки производных f послужат основой доказательства всех наших утверждений. В теоремах 2-4 фигурируют функции, заданные на всем Rn.

Теорема 2. Фундаментальное решение G(|x|) оператора (14) принадлежит пространству f, где f, f, pm>n.

Доказательство. Для начала потребуется рассмотрение f-норм производных f при f

f          (16)

Интеграл из (16) удобнее разбить на сумму

f         (17)

после чего оценить каждое из слагаемых

f

f   (18)

f    (19)

В последнем равенстве (18) совершен переход к сферическим координатам. Максимально возможный порядок производной равен m, а потому

f                               (20)

Интеграл справа существует, если (n-m)<n, т.е.

f(21)

Сходимость несобственного интеграла в правой части (19) очевидна. Из (19), (20), (21) следует, что при mp>n f, f, т.е. f, f. Что касается предельных значений, то если f, f, тогда неравенства (18) и (19) выполняются. Если же p=1, p´=∞, то требуется доказать существенную ограниченность f, f на Rn. При любом f выполняются неравенства

f если     f                                  (22)

в том числе и при  ff , а также

f                     (23)

Правая часть (23) имеет глобальный максимум в тех точках, где f, а следовательно, f - ограничена. Теорема доказана.

3. Фундаментальное решение оператора, порожденного естественной нормой. Норма (1) порождает оператор

f                  (24)

где Δ - оператор Лапласа. Фундаментальное решение его f как обобщенную функцию, действующую на основные функции из  f1<p< ∞, можно получить в виде несобственного интеграла, если применить к уравнению

f             (25)

прямое и обратное преобразования Фурье

f (26)

Здесь f

Теорема 3. Функция f, f, является множителем Марцинкевича при 1<p< ∞.

Доказательство. Как функция n действительных переменных f, где f, является отношением многочленов равных степеней. Знаменатель ее не имеет действительных корней, и потому f непрерывна на Rn. Так как f, то f ограничена. Производные f, где f f   также непрерывны и f, откуда следует ограниченность произведения, стоящего под знаком предела. Таким образом, выполнены условия теоремы 1.5.4 [1], что доказывает наше утверждение.

Теорема 4. Оценки для f справедливы и для f, f, f.

Доказательство. Согласно определению [1], если λ - множитель Марцинкевича, то при 1<p<∞ выполняется неравенство

f           (27)

где f, f - константа, зависящая от . Функции f и f связаны выражением

f

f            (28)

Последнее равенство на основании теоремы 3 вытекает из свойств множителя Марцинкевича [1]. Поскольку по правилу дифференцирования свертки f, f, то

f(29)

Интеграл справа, определяющий норму, существует при pm>n. Отсюда непосредственно следует утверждение теоремы для f. Однако, тот же интеграл существует и при p=∞. Достаточно применить предельный переход к неравенствам (18) и (19), оценивающим его. Здесь, кроме того, отпадает необходимость в ограничениях на m и n. В случае же p=1 существенная ограниченность f следует из существенной ограниченности f, f. Теорема доказана.

Из теоремы 4 непосредственно следует принадлежность фундаментального решения f оператора, порожденного естественной нормой, пространству f в условиях теоремы 2.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. - М.: Наука, 1977. - 456 с.
  2. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. - М.: Наука, 1974. - 808 с.
  3. Шойнжуров Ц.Б. Теория кубатурных формул в функциональных пространствах с нормой, зависящей от функции и ее производных: Дис. ... докт. физ.-мат. наук (01.01.01, 01.01.07) / Вост.-Сиб. технол. ин-т. - Улан-Удэ, 1977. - 235 с.

Библиографическая ссылка

Корытов И.В. ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА, ПОРОЖДЕННОГО ЕСТЕСТВЕННОЙ НОРМОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ СОБОЛЕВА // Фундаментальные исследования. – 2005. – № 3. – С. 10-13;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=5815 (дата обращения: 16.12.2018).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252