Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,074

ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ ДВУХФАЗНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ НА ОСНОВЕ УСОВЕРШЕНСТВОВАННОГО ПОПЕРЕМЕННО-ТРЕУГОЛЬНОГО МЕТОДА

Сухинов А.И. 1 Тимофеева Е.Ф. 2 Григорян Л.А. 2 Тебуева Ф.Б. 2 Никитина А.В. 3 Хачунц Д.С. 4
1 ФГБОУ ВПО «Донской государственный технический университет»
2 ФГАОУ ВПО «Северо-Кавказский федеральный университет
3 ГОУ ВО «Научно-исследовательский институт многопроцессорных вычислительных систем имени академика А.В. Каляева»,
4 ГОУ ВО «Научно-исследовательский институт многопроцессорных вычислительных систем имени академика А.В. Каляева»
Добыча нефти в большинстве случаев происходит при вытеснении ее в поровом пространстве продуктивного пласта водой или газом. Этот процесс применяется при естественных режимах эксплуатации и при искусственных методах поддержания пластового давления нагнетанием воды или газа. Задачи увеличения нефтеотдачи месторождений, имеющие важное практическое значение, приводят к необходимости массового решения задач фильтрации двухфазных несжимаемых жидкостей. Это, в свою очередь, требует при проектировании разработок нефтяных месторождений разрабатывать и применять параллельные алгоритмы, обеспечивающие высокую масштабируемость и возможность эффективного решения на многопроцессорных вычислительных системах. В статье рассматриваются вариант усовершенствованного попеременно-треугольного метода, учитывающий специфику постановок задач двухфазной фильтрации в естественных переменных «давление ? водонасыщенность», а также его параллельная реализация на системе с массовым параллелизмом – супервычислительной системе ЮФУ, установленной в Таганроге.
моделирование задач двухфазной фильтрации
улучшенный итерационный попеременно-треугольный метод
параллельные алгоритмы
1. Бузало Н.С., Ермаченко П.А., Проценко Е.А., Ха чунц Д.С., Чистяков А.Е. Трехмерная математическая модель динамики жидкости и концентрации воздушных пузырьков в карусельном аэpотенке // Современные проблемы науки и образования. – 2015. – № 1. – С. 1789.
2. Гущин В.А., Матюшин П.В. Математическое моделирование и визуализация трансформации вихревой структуры течения около сферы при увеличении степени стратификации жидкости // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2011. – Т. 51, № 2. – С. 268–281.
3. Коновалов А.Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. – Новосибирск: Наука, 1988. – 166 с.
4. Коновалов А.Н. Метод скорейшего спуска с адаптивным попеременно-треугольным переобусловливателем // Дифференциальные уравнения. – 2004. – Т. 40, № 7. – С. 953.
5. Петров И.Б., Фаворская А.В., Санников А.В., Квасов И.Е. Сеточно-характеристический метод с использованием интерполяции высоких порядков на тетраэдральных иерархических сетках с кратным шагом по времени // Математическое моделирование. – 2013. – Т. 25, № 2. – С. 42–52.
6. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. – М.: Наука, 1978. – С. 592.
7. Сухинов А.И. Модифицированный попеременно-треугольный метод для задач теплопроводности и фильтрации // Вычислительные системы и алгоритмы. – 1984. – C. 52–59.
8. Сухинов А.И., Никитина А.В., Чистяков А.Е., Семенов И.С. Математическое моделирование условий формирования заморов в мелководных водоемах на многопроцессорной вычислительной системе // Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. – 2013. – Т. 1, № 1. – С. 103–112.
9. Сухинов А.И., Хачунц Д.С., Чистяков А.Е. Математическая модель распространения примеси в приземном слое атмосферы и ее программная реализация на многопроцессорной вычислительной системе // Вестник Уфимского государственного авиационного технического университета. – 2015. – Т. 19, № 1. – С. 213–223.
10. Сухинов А.И., Чистяков А.Е. Адаптивный попеременно-треугольный метод для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором // Математическое моделирование. – 2012. – Т. 24, № 1. – С. 3–20.
11. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Проценко Е.А. Математическое моделирование транспорта наносов в прибрежной зоне мелководных водоемов // Математическое моделирование. – 2013. – Т. 25, № 12. – С. 65–82.
12. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Тимофеева Е.Ф., Шишеня А.В. Математическая модель расчета прибрежных волновых процессов // Мат. моделирование. – 2012. – Т. 24, № 8. – С. 32–44.
13. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Фоменко Н.А. Методика построения разностных схем для задачи диффузии-конвекции-реакции, учитывающих степень заполненности контрольных ячеек // Известия Южного федерального университета. Технические науки. – 2013. – № 4 (141). – С. 87–98.
14. Сухинов А.И., Шишеня А.В. Повышение эффективности попеременно-треугольного метода на основе уточненных спектральных оценок // Математическое моделирование. – 2012. – Т. 24, № 11. – С. 10–22.
15. Четверушкин Б.Н., Морозов Д.Н, Трапезнико ва М.А., Чурбанова Н.Г., Шильников Е.В. Ободной схеме для решения задач фильтрации // Математическое моделирование. – 2010. – Т. 22, № 4. – C. 99–109.

Постановка начально-краевой задачи и разностная схема

Развитию вычислительных методов решения задач фильтрации многофазных жидкостей посвящены работы [3, 15], в том числе параллельному численному решению данного класса задач – публикации [7]. В случае плоско-параллельного характера фильтрации в пластах сравнительно небольшой мощности, уравнения, описывающие фильтрацию двухфазной несжимаемой жидкости в отсутствие капиллярных и гравитационных сил и при наличии источников и стоков, имеют вид [7]

suhinov01.wmf (1)

suhinov02.wmf (2)

где s = s(x, y) – водонасыщенность; p = s(x, y, t) – давление; f1(s), f2(s) – относительные фазовые проницаемости для нефти и воды соответственно; H – мощность пласта; m –пористость пласта; ?1, ?2 – вязкость нефти и воды соответственно; k(x, y) – проницаемость пласта; ?(s) – так называемая функция Баклея – Леверетта

suhinov03.wmf suhinov04.wmf (3)

с помощью которой может быть определена доля фазы воды в суммарном потоке. Функции q1 и q2, моделирующие работу скважин будут приведены при описании разностной схемы. Здесь мы отметим следующее: на эксплуатационных скважинах отбор фаз происходит пропорционально их подвижностям, а на нагнетательных – поток нефти равен нулю. Будем считать, что на скважинах задаются либо дебиты, либо забойные давления. В качестве функциональных зависимостей для задания f1(s), i = 1, 2 будем использовать полиномы третьего порядка

suhinov05.wmf suhinov06.wmf (4)

а также

suhinov07.wmf (5)

где suhinov08.wmf suhinov09.wmf – постоянные – так называемые предельные значения водонасыщенности, например suhinov10.wmf suhinov11.wmf ai, bi i = 0, 1, 2, 3 – постоянные коэффициенты. Разностная схема для данной задачи получена интегроинтерполяционным методом [13].

Усовершенствованный алгоритм модифицированного попеременно-треугольного метода

В настоящей статье рассматривается параллельное численное решение системы разностных уравнений усовершенствованным модифицированным попеременно-треугольным методом, имеющим высокую скорость сходимости в случае сильно неоднородных пластов и применения подробных пространственных сеток [1, 2, 5, 11, 12].

Решение системы (1), (2) сводится к решению задачи, которую можно представить в операторном виде:

suhinov12.wmf suhinov13.wmf x ? ?;

suhinov14.wmf x ? ?;

suhinov15.wmf

suhinov16.wmf

suhinov17.wmf

Схема итерационного двухслойного модифицированного попеременно-треугольного метода имеет вид [4, 6, 10, 14]:

suhinov18.wmf

где

suhinov19.wmf

suhinov20.wmf

Параллельная реализация попеременно-треугольного метода и результаты численных экспериментов

Для решения задачи фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости использован адаптивный МПТМ минимальных поправок. При параллельной реализации использованы методы декомпозиции сеточных областей для вычислительно трудоемких задач диффузии-конвекции, учитывающие архитектуру и параметры многопроцессорной вычислительной системы ЮФУ, в г. Таганроге. Пиковая производительность МВС составляет 18.8 TFlops. В качестве вычислительных узлов используется 128 однотипных 16-ядерных Blade-серверов HP ProLiant BL685c, каждый из которых оснащен четырьмя 4-ядерными процессорами AMD Opteron 8356 2.3 GHz и оперативной памятью в объеме 32ГБ.

Для параллельной реализации усовершенствованного МПТМ использованы методы декомпозиции области по одному направлению [8, 9]. Результаты использования многопроцессорных технологий для расчета полей течений приведены в таблице.

Количество ядер

Время, с 

Ускорение

Эффективность

1

1447,415

1

1

2

734,728

1,97

0,985

4

387,009

3,74

0,935

8

199,643

7,25

0,906

16

109,653

13,2

0,825

32

62,659

23,1

0,722

64

36,643

39,5

0,617

Получены теоретические оценки ускорения и эффективности параллельного алгоритма, зависящие от времени выполнения арифметической операции, времени передачи данных и латентности, согласующиеся с приведенными выше экспериментальными данными (таблица).

На рис. 1–4 представлены результаты численного моделирования фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости. На рис. 1–2 приведена функция, описывающая распределение давления в начальный момент времени и через 750 суток после начала работы нагнетательных скважин.

pic_48.tif

Рис. 1. Функция распределения давления в начальный момент времени

pic_49.tif

Рис. 2. Функция распределения давления через 750 суток

На рис. 3–4 приведена функция, описывающая распределение функции водонасыщенности в начальный момент времени и через 750 суток после начала работы нагнетательных скважин.

pic_50.tif

Рис. 3. Функция распределения водонасыщенности в начальный момент времени

pic_51.tif

Рис. 4. Функция распределения водонасыщенности через 750 суток

Заключение

В статье для численного решения модельной задачи фильтрации двухфазной жидкости, описывающей процесс вытеснения нефти водой, для вычисления функции давления в пласте построен усовершенствованный модифицированный попеременно-треугольный метод, учитывающий специфику сеточных аппроксимаций задач такого типа – наличие функции источников, имеющей значительные величины в относительно небольшом числе узлов сетки, совпадающих с местоположением скважин. Построена и протестирована параллельная версия данного алгоритма на многопроцессорной системе ЮФУ в г. Таганроге, имеющая приемлемые показатели ускорения и эффективности для числа ядер при их изменении в диапазоне 4–256. Данный метод может найти применение при решении реальных задач проектирования разработок нефтяных месторождений в научно-исследовательских, проектных и технологических организациях нефтегазового профиля, эксплуатирующих относительно недорогие параллельные многоядерные системы с числом ядер до нескольких сотен.

Работа выполнена при частичной поддержке проектов Программы № 43 фундаментальных исследований Президиума РАН по стратегическим направлениям развития науки «Фундаментальные проблемы математического моде лирования».


Библиографическая ссылка

Сухинов А.И., Тимофеева Е.Ф., Григорян Л.А., Тебуева Ф.Б., Никитина А.В., Хачунц Д.С. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ ДВУХФАЗНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ НА ОСНОВЕ УСОВЕРШЕНСТВОВАННОГО ПОПЕРЕМЕННО-ТРЕУГОЛЬНОГО МЕТОДА // Фундаментальные исследования. – 2015. – № 12-3. – С. 526-530;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=39574 (дата обращения: 14.11.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074