Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,118

МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ФАЗОВОГО ФРОНТА В БАЗИСЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Безуглов Д.А. 1 Сахаров И.А. 2
1 Ростовский филиал Российской таможенной академии
2 ФГБОУ ВПО «Донской государственный технический университет»
Основным элементом адаптивных оптических систем фазового сопряжения является датчик фазового фронта. С его помощью проводят измерения фазы в различных точках апертуры оптической системы с последующим «сшиванием» измерений и формированием распределения фазы фазового фронта по всему зрачку. В силу специфики квадратичного детектирования в оптике чаще всего используются датчики интерференционного и гартмановского типов, которые позволяют измерять разности фаз между соседними участками апертуры или локальные наклоны фазового фронта на апертуре. При решении такой задачи не удается применить рекуррентную процедуру. При больших размерах апертуры это приводит к повышенным вычислительным затратам и ограничивает применение указанного алгоритма в реальном масштабе времени, а уменьшение апертуры ведет к увеличению ошибки аппроксимации фазового фронта. В последнее время в технике адаптивной оптики возрос интерес к применению в качестве корректоров фазового фронта гибких зеркал с функциями отклика, близкими к ортогональным полиномам Цернике. При этом является актуальной задача вычисления управляющих сигналов для зеркал на современных ЭВМ с минимальными вычислительными затратами.
датчик фазового фронта
полиномы Цернике
адаптивные оптические системы
1. Безуглов Д.А., Вернигора А.А. Восстановление фазового фронта в базисе ортогональных функций по результатам измерений датчика гартмановского типа // Оптика атмосферы и океана. – 1990. – Т. 3. – № 03. – С. 284–288.
2. Безуглов Д.А., Решетникова И.В., Сахаров И.А. Методы оценки потенциальных характеристик адаптивных оптических систем // Вопросы образования и науки: теоретический и методический аспекты: сборник научных трудов по материалам Международной научно-практической конференции: в 11 частях. – 2014. – С. 18–20.
3. Безуглов Д.А., Решетникова И.В., Сахаров И.А. Разработка новых структур адаптивных оптических систем // Вопросы образования и науки: теоретический и методический аспекты: сборник научных трудов по материалам Международной научно-практической конференции: в 11 частях. – 2014. – С. 21–23.
4. Безуглов Д.А., Решетникова И.В., Сахаров И.А. Адаптивные оптические системы: методы и устройства восстановления и коррекции фазового фронта // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 4. – С. 142.
5. Безуглов Д.А., Решетникова И.В., Сахаров И.А. Полиномы цернике в задаче восстановления фазового фронта датчиками тангенциального и радиального типов // Современные проблемы радиоэлектроники: материалы Первой межрегиональной научной конференции / научн. ред. Д.А. Безуглов. – 2006. – С. 127–132.
6. Безуглов Д.А., Решетникова И.В., Сахаров И.А. Датчики фазового фронта: монография; Ростовская акад. сервиса (фил.), ГОУ ВПО «Южно-Российский гос. ун-т экономики и сервиса» (РАС ЮРГУЭС). – Ростов-на-Дону, 2007.
7. Безуглов Д.А., Забродин Р.А., Миронович Д.В., Решетникова И.В., Сахаров И.А. Тангенциальный датчик фазового фронта // Пат. на изобретение 2365956 Россия, МПК G02B 26/06 (2006.01) , заявл. 2007149364/28 от 26.12.2007, опубл. 27.08.2009, Бюл. № 24.
8. Фрид Дж. Построение оценки искажений фазового фронта методом наименьших квадратов по множеству измерений разности фаз // Адаптивная оптика: пер. с англ. – М.: Мир, 1980. – С. 332.

В настоящее время развитие оптических систем передачи информации нового поколения основано на использовании широкополосных и сверхширокополосных сигналов. Воздействие аддитивных помех рассеяния можно минимизировать использованием методов нелинейной фильтрации, а влияние энергетического ослабления возможно компенсировать выбором энергетики оптического канала. В этой связи компенсация вредного влияния турбулентных неоднородностей среды распространения, создающих случайную пространственно-временную структуру показателя преломления и определяющих оптические свойства атмосферы, является наиболее сложной задачей.

Одним из наиболее эффективных способов ослабления возмущающего действия атмосферы является применение адаптивных методов и систем. Также можно отметить, что применение других методов и подходов в принципе не может обеспечить такого эффекта. Основные идеи, положенные в фундамент создания адаптивных систем, предложены сравнительно недавно. Процесс минимизации искажений волнового фронта в адаптивной оптической системе сводится к получению информации об искажениях, формированию управляющего воздействия на основе выбранных критериев и адаптации и коррекции фазового фронта. Адаптивные оптические системы фазовой компенсации в общем случае представляют собой систему автоматического управления с замкнутым многоканальным контуром. Основными элементами системы являются: анализатор – датчик фазового фронта, устройство обработки – цифровая или аналоговая ЭВМ и корректор фазового фронта. Существующие схемы функционирования адаптивных оптических систем позволяют решить задачу компенсации вредного влияния турбулентности. Получаемые при этом технические решения достаточно сложны. Поэтому существующие адаптивные оптические системы представляют собой многоканальные системы автоматического управления. А показатели качества таких систем в общем случае нелинейно зависят от числа каналов управления и улучшаются с их увеличением.

Для того чтобы адаптивные оптические системы передачи информации обеспечивали повышенную помехоустойчивость при минимальных аппаратурных затратах, число каналов необходимо ограничить при обеспечении заданного значения критерия качества. С экономической точки зрения для того чтобы адаптивные оптические системы передачи информации обеспечивали повышенную помехоустойчивость и как следствие – большую дальность действия при минимуме аппаратурных затрат, число каналов необходимо ограничить при обеспечении заданного значения критерия качества. Также к настоящему времени не решена задача синтеза специализированных алгоритмов оптимального и квазиоптимального измерения параметров фазового фронта в таких системах.

Основным элементом адаптивных оптических систем фазового сопряжения является датчик фазового фронта. С его помощью проводят измерения фазы в различных точках апертуры оптической системы с последующим «сшиванием» измерений и формированием распределения фазы фазового фронта по всему зрачку.

Датчики гартмановского типов позволяют измерять разности фаз между соседними участками апертуры или локальные наклоны фазового фронта, пропорциональные величинам вида, где k – волновое число; φ(x, y) – функция,

bezuglov01.wmf bezuglov02.wmf,

описывающая распределение фазы на апертуре [1, 5].

Известен алгоритм [8] восстановления фазового фронта по результатам измерений частных производных в точках апертуры, предполагающий при обработке результатов измерений от т×п субапертур решение системы из (m + 1)(n + 1) линейных алгебраических уравнений. При решении такой системы не удается применить рекуррентную процедуру. При больших т и п это приводит к повышенным вычислительным затратам и ограничивает применение указанного алгоритма в реальном масштабе времени, а уменьшение т и п ведет к увеличению ошибки аппроксимации фазового фронта. В последнее время в технике адаптивной оптики возрос интерес к применению в качестве корректоров фазового фронта гибких зеркал с функциями отклика, близкими к ортогональным полиномам Цернике. При этом является актуальной задача вычисления управляющих сигналов для зеркал на современных ЭВМ с минимальными вычислительными затратами.

Цель работы – синтез алгоритма вычисления коэффициентов разложения фазового фронта по системе ортогональных полиномов на основе измерений значений частных производных фазового фронта в точках субапертуры.

Рассмотрим метод восстановления фазового фронта в виде разложения по системе ортогональных функций по результатам измерений датчика гартмановского типа.

Рассмотрим задачу в следующей постановке. Пусть на прямоугольной апертуре S размером (a, b)×(c, d), состоящей из т×п субапертур, датчик Гартмана измеряет значения частных производных вида bezuglov03.wmf и bezuglov04.wmf в середине каждой субапертуры Sij. Зададим на интервалах (a, b) и (c, d) две системы ортогональных функций {μk(x)} и {λk(y)} bezuglov05.wmf из пространства C′(S), таких, что скалярные произведения вида

bezuglov06.wmf при r ≠ k,

bezuglov07.wmf при r ≠ k, (1)

и удовлетворяющих следующим дифференциальным уравнениям [8, 5]:

bezuglov08.wmf

bezuglov09.wmf (2)

при условиях

bezuglov10.wmf

bezuglov11.wmf (m = 0, 1, ...), (3)

где

bezuglov12.wmf bezuglov13.wmf

bezuglov14.wmf

bezuglov15.wmf

bezuglov16.wmf

bezuglov17.wmf

Искаженный фазовый фронт может быть представлен в виде [1, 3]:

bezuglov18.wmf (4)

где bezuglov19.wmf (5)

Рассмотрим синтез алгоритма вычисления коэффициентов ak разложения вида (4) по результатам измерения значений частных производных фазового фронта в точках субапертуры. Продифференцируем по x и y выражение (4):

bezuglov20.wmf

bezuglov21.wmf (6)

Тогда значения частных производных фазового фронта в точках апертуры могут быть представлены как

bezuglov22.wmf

bezuglov23.wmf (7)

bezuglov24.wmf bezuglov25.wmf

Коэффициенты ak получим из условия минимума функционала вида

bezuglov26.wmf bezuglov27.wmf bezuglov28.wmf (8)

Дифференцируя выражение (8) по a1 и приравнивая значения частных производных вида bezuglov29.wmf к нулю, получим систему из N + 1 линейных уравнений:

bezuglov30.wmf (9)

N + 1 < m; N + 1 < n; bezuglov31.wmf bezuglov32.wmf bezuglov33.wmf

Введем следующие обозначения:

bezuglov34.wmf bezuglov35.wmf bezuglov36.wmf bezuglov37.wmf

Учитывая свойство ортогональности производных полиномов, удовлетворяющих условиям(1), (2), (3), решение системы (9) запишется в виде

bezuglov38.wmf (10)

В соответствии с формулой Родрига частные производные ортогональных полиномов могут быть представлены следующими соотношениями:

bezuglov39.wmf (11)

bezuglov40.wmf (12)

где Ak, bezuglov41.wmf – постоянные, зависящие от нормировки и определяемые по методике, изложенной в [1, 5]. Значения частных производных bezuglov42.wmf и bezuglov43.wmf для всех значений i, j, k могут быть рассчитаны заранее.

Для восстановления фазового фронта в соответствии с (10) потребуется P = 3Nmn операций. Функции отклика реальных зеркал могут не удовлетворять условиям (2), (3). Однако и в этом случае удается построить алгоритм восстановления фазового фронта.

Пусть в выражении (4) ψk не удовлетворяет (2), (3) и является функцией отклика гибкого зеркала. Тогда, введя обозначения

bezuglov44.wmf

bezuglov45.wmf

систему можно записать как

bezuglov46.wmf bezuglov47.wmf (13)

или в матричной форме:

Da = F, (14)

где D – матрица правой части системы линейных уравнений (13) с элементами bezuglov48.wmf a – вектор-строка искомых коэффициентов; F – вектор-столбец правой части системы с элементами

bezuglov49.wmf

Решение системы запишется в виде

a = D–1F. (15)

Матрица D–1 для АОС вычисляется заранее, так как ее элементы не зависят от измеряемых датчиком гартмановского типа локальных наклонов фазового фронта на субапертурах. Таким образом, обработка результатов измерений фазового фронта в реальном масштабе времени сведется к вычислению элементов F в соответствии с (14) и умножению матрицы D–1 на F [7].

Выводы

Предложенный в работе метод позволяет существенно упростить конструкцию датчика фазового фронта и обеспечить его восстановление в реальном масштабе времени. Матрица D–1 может быть вычислена заранее, что также уменьшает объем вычислительных затрат. С учетом того, что на практике можно использовать ограниченное число полиномов, предложенный подход может быть использован в адаптивных оптических системах.

Рецензенты:

Звездина М.Ю., д.ф.-м.н., доцент, зав. кафедрой «Радиоэлектроника», ФГБОУ ВПО «Донской государственный технический университет», г. Ростов-на-Дону;

Габриэльян Д.Д., д.т.н., профессор, заместитель начальника научно-технического комплекса «Антенные системы» по науке, ФНПЦ ФГУП «РНИИРС», г. Ростов-на-Дону.


Библиографическая ссылка

Безуглов Д.А., Сахаров И.А. МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ФАЗОВОГО ФРОНТА В БАЗИСЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ // Фундаментальные исследования. – 2015. – № 11-1. – С. 27-31;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=39278 (дата обращения: 23.09.2018).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252