Научный журнал

Фундаментальные исследования

ISSN 1812-7339

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,674

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Геворкян Э.А. 1 Стешкин В.И. 1

---

1 Московский государственный университет экономики статистики и информатики

Рассмотрено распространение поперечно-электрических (ТЕ) и поперечно-магнитных (ТМ) электромагнитных волн в волноводе произвольного поперечного сечения, где помещена анизотропная магнитодиэлектрическая пластина конечной длины. Получены волновые уравнения в различных областях волновода из уравнений Максвелла. Они решаются методом, развитым в работе [1]. На основе граничных условий с учетом решений волновых уравнений получены обобщенные формулы Френеля, которые позволяют вычислить коэффициенты отражения и прохождения по мощности для пластины. Приведены графики зависимости коэффициентов отражения от толщины пластины при различных значениях параметров, характеризующих взаимодействие ТЕ и ТМ волн с анизотропной магнитодиэлектрической пластиной в волноводе. Они показывают колебательный характер указанных зависимостей. Огибающие максимумов зависимости от толщины пластины являются убывающими функциями. В работе рассматривается также случай «тонкой» пластины. Полученные в этом случае аналитические выражения для коэффициентов отражения по мощности ТЕ и ТМ волн показывают, что они пропорциональны толщине пластины в квадрате.

Статья в формате PDF

1769 KB

электромагнитные волны

волновод

анизотропная магнитодиэлектрическая пластина

коэффициенты отражения и прохождения

1. Геворкян Э.А. К электродинамике периодически нестационарных и неоднородных сред в волноводах произвольного поперечного сечения // Успехи современной радиоэлектроники. – 2006. – № 1. – С. 3–29.

2. Геворкян Э.А. Взаимодействие электромагнитных волн с периодически модулированным анизотропным магнито-диэлектрияческим заполнением волновода // Электромагнитные волны и электронные системы. – 2009. – № 10. – С. 65–72.

3. Геворкян Э.А. Распространение электромагнитных волн в волноводе с анизотропным модулированным заполнением // Журнал технической физики. – 2006. – Т. 76, № 5. – С. 134–137.

4. Геворкян Э.А. К теории распространения электромагнитных волн в волноводе с магнитоактивным анизотропным модулированным заполнением // Радиотехника и электроника. – Т. 59, № 5. – С. 565–569.

5. Делицын А.Л., Трошина И.К. Комплексные волны в волноводе с анизотропным заполнением // Радиотехника и электроника. – 2005. – Т. 50, № 7. – С. 815-820.

6. Левич В.Г. Курс теоретической физики. – 2012. – Т. 1. – 911 с., YOYO Media, www.my-shop.ru/_files/product/pdf/127/1263257.pdf.

7. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: МГУ, 2004. – 798с.

8. Ярив А., Юх П. Оптические волны в кристаллах: пер. с англ. – М.: Мир, 1987. – 616 с.

9. Gevorkyan E.A. On the electrodynamics of space-time periodic mediums in a waveguide of arbitrary cross section. Wave propagation, chapter 13. Croatia: INTECH Open Access Publisher, 2011. – P. 267–284, available at: www.intechopen.com/books/wave-propagation,DOI: 10.5772/584.

Теоретические и экспериментальные исследования в области электродинамики анизотропных магнитодиэлектрических сред представляют большой интерес и с точки зрения развития теории, и с точки зрения возможностей широкого практического применения подобных сред в микроволновой электронике, в тонкопленочной и интегральной оптике, акустооптике и т.д. [5, 8]. В частности, представляет определенный интерес изучение отражения поперечно-электрических (ТЕ) и поперечно-магнитных (ТМ) электромагнитных волн от левой границы и прохождения от правой границы анизотропной магнитодиэлектрической пластины, помещенной в волновод.

Постановка задачи и волновые уравнения

Пусть в регулярный волновод произвольного поперечного сечения, ось которого совпадает с осью oz некоторой декартовой системы координат, помещена анизотропная магнитодиэлектрическая пластина толщины 2d (–d ≥ z ≥ d). Рассмотрим распространение ТЕ и ТМ сигнальных волн с единичной амплитудой и частотой ω0 в подобном волноводе, предполагая, что они падают на пластину со стороны z ≤ –d (рис. 1).

Пусть диэлектрическая и магнитная проницаемости пластины имеют вид

(1)

где ε₁, ε₂, μ₁, μ₂ – постоянные. ТЕ и ТМ поля в волноводе, как и в работах [1–4] и [9], будем описывать с помощью продольных Фурье-компонент магнитного и электрического векторов и соответственно. Волновые уравнения для и получаются из уравнений Максвелла и в различных областях волновода представляются в следующем виде:

Для ТЕ поля:

в областях I и III (z ≤ –d и z ≥ d):

(2)

в области II (–d ≥ z ≥ d):

(3)

где

– двумерный оператор Лапласа.

Для ТМ поля:

в областях I и III (z ≤ –d и z ≥ d):

(4)

в области II ((–d ≥ z ≥ d):

(5)

Рис. 1. Геометрия поперечного сечения волновода

Решения волновых уравнений (2)–(5) будем искать в виде равномерно и абсолютно сходящихся рядов [7] (приложение к главе 7):

(6)

В (6) и Ψn(x, y) представляют собственные функции второй и первой краевых задач для поперечного сечения волновода и соответствуют собственным значениям и λn. Эти функции удовлетворяют следующим уравнениям Гельмгольца с соответствующими граничными условиями:

(7)

(8)

где Σ – контур поперечного сечения волновода, – нормаль к Σ.

Поперечные составляющие и ТЕ и ТМ полей, как следует из уравнений Максвелла в случае отсутствия зарядов и токов в среде [6], будут выражаться формулами:

Для ТЕ поля:

в I и III областях (z ≤ –d и z ≥ d):

(9)

(10)

в области II ((–d ≥ z ≥ d):

(11)

(12)

где индекс τ означает поперечные составляющие, – орт оси oz, ∇ – оператор Набла.

Для ТМ поля:

в I и III областях (z ≤ –d и z ≥ d):

(13)

(14)

в области II ((–d ≥ z ≥ d):

(15)

(16)

Коэффициенты отражения и прохождения по мощности.

Подставляя (6) в уравнения (2)–(5) и учитывая (7) и (8), для определения H_n(z) и E_n(z) в различных областях волновода, получим следующие обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка:

Для ТЕ поля:

в I и III областях (z ≤ –d и z ≥ d):

(17)

где

в области II ((–d ≥ z ≥ d):

(18)

где

Для ТМ поля:

в I и III областях (z ≤ –d и z ≥ d):

(19)

где

в области II ((–d ≥ z ≥ d):

(20)

где

Решения уравнений (17)–(20) имеют вид:

Для ТЕ поля:

в I области (z ≤ –d):

(21)

в III области (z ≥ d):

(22)

в области II ((–d ≥ z ≥ d):

(23)

где и пока неизвестные коэффициенты.

Для ТМ поля:

в I области (z ≤ –d):

(24)

в III области (z ≥ d):

(25)

в области II ((–d ≥ z ≥ d):

(26)

где an и пока неизвестные коэффициенты.

Все неизвестные коэффициенты можно найти с помощью следующих граничных условий при z = ±d:

Для ТЕ поля:

z = –d; (27)

z = d; (28)

Для ТM поля:

z = –d; (29)

z = d; (30)

Подставляя (21)–(26) в граничные условия (27)–(30) и решая полученную систему уравнений, получим обобщенные формулы Френеля для анизотропной магнитодиэлектрической пластины в виде:

Для ТЕ поля:

(31)

(32)

где

(33)

Для ТМ поля:

(34)

(35)

где

(36)

Теперь с помощью (31) и (34) можно найти коэффициенты отражения и прохождения по мощности для ТЕ и ТМ полей. Вычисления приводят к следующим выражениям:

Для ТЕ поля:

(37)

где

(38)

(39)

Для ТМ поля:

(40)

где

(41)

(42)

Зависимости коэффициентов отражения по мощности и R_n от d приведены на рис. 2–5. Графики построены согласно формулам (37)–(42) с помощью программы Mathcad при различных значениях параметров, характеризующих взаимодействие ТЕ и ТМ волн с анизотропной магнитодиэлектрической пластиной в волноводе. Как видно из рисунков, коэффициенты отражения по мощности имеют колебательный характер в зависимости от d. При увеличении ε1 в случае ТЕ волны и μ1 в случае ТМ волны максимумы коэффициентов отражения перемещаются в сторону меньших d. Огибающие максимумов в зависимости от d являются убывающими функциями. Характер зависимости коэффициентов прохождения по мощности одинаков для ТЕ и ТМ волн. При увеличении d они стремятся к нулю.

Рис. 2. Зависимость от d при ε₁ = 2,5; μ₁ = 350; μ₂ = 14; ω_o = 1,2·10⁶

Рис. 3. Зависимость от d при ε₁ = 5; μ₁ = 350; μ₂ = 40; ω_o = 1,2·10⁶

Рис. 4. Зависимость Rn от d при ε₁ = 2,5; ε₂ = 3; μ₁ = 60; ω_o = 1,2·10⁶

Рис. 5. Зависимость Rn от d при ε₁ = 2,5; ε₂ = 2; μ₁ = 30; ω_o = 1,2·10⁶

Теперь рассмотрим частный случай, когда длина волны в пластине много больше толщины пластины (случай «тонкой» пластины), то есть

(43)

Считая, что одновременно с (43) выполняются и условия

(44)

и разлагая выражения (37)–(40) в ряд Тейлора по степеням d, ограничиваясь членами, содержащими d2, получим

(45)

(46)

(47)

При d = 0 из (45)–(47) получим: R_n = 0; T_n = 1.

Заключение

В заключение отметим, что полученные в настоящей работе результаты дают возможность решить задачу излучения заряженной частицы, движущейся равномерно вдоль или перпендикулярно оси волновода, где помещена анизотропная магнитодиэлектрическая пластина толщины 2d. Отметим, что с математической точки зрения задача сводится к решению неоднородных дифференциальных уравнений.

Подобная постановка задачи представляет интерес и в плане развития теории, и в плане возможности практического применения излучения в различных областях электроники СВЧ.

Рецензенты:

Кюркчан А.Г., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой теории вероятностей и прикладной математики Московского технического университета связи и информатики (МТУСИ), г. Москва;

Мазуров М.Е., д.ф.-м.н., доцент, профессор кафедры высшей математики Московского государственного университета экономики, статистики и информатики (МЭСИ), г. Москва.

Работа поступила в редакцию 04.06.2014.

Библиографическая ссылка