Научный журнал

Фундаментальные исследования

ISSN 1812-7339

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,674

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Ляпцев С.А. 1

---

1 Уральский государственный горный университет

В статье предложен метод, позволяющий получить решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями по единой методике, не зависящей от вида неоднородности, которую они содержат. Метод прост в использовании и может применяться как для непрерывной, так и для разрывной функции, представляющей неоднородность. Для применения предлагаемого метода достаточно вычислить два интеграла специального вида и по выражениям этих интегралов записать общее решение. Все возможные варианты решений продемонстрированы на конкретных примерах: решение линейного однородного уравнения, непрерывная функция в качестве неоднородности, резонанс, кусочно-линейная правая часть уравнения. На тех же примерах показано, что стандартным общепринятым методом решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений и методом прямого интегрирования получаются одинаковые результаты.

Статья в формате PDF

753 KB

линейное дифференциальное уравнение

неоднородность

начальные условия

интегрирование

общее решение

колебания

1. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. – СПб.: Лань, 2006. – 731 с.

2. Демидович Б.П., Моденов В.П. Дифференциальные уравнения: учебное пособие. – 3-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2008. – 288 с.

3. Косенко Е.А. Обоснование параметров привода вибротранспортных машин: автореф. дис. ... канд. техн. наук. – Екатеринбург: УГГУ, 2012. – 20 с.

4. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Ц.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Задачи и примеры с подробными решениями. – 4-е изд. испр. – М.: Едиториал, 2002. – С. 188–191.

5. Мокрушин Н.В., Ляпцев С.А. Сопротивление материалов: конспект лекций: учебное пособие. – Екатеринбург: УГГУ, 2014. – С. 80–84.

Существует довольно много методов решения линейных дифференциальных уравнений (см., например, [2]). Наиболее распространенным методом является поиск общего решения в виде суммы общего решения однородной части данного линейного уравнения и частного решения, подбираемого по виду неоднородности [4]. Каждый вид неоднородности предполагает собственный вид частного решения, которое, как правило, ищется методом неопределенных коэффициентов. Поскольку вид частного решения зависит от вида неоднородности и не всегда может быть выражен в общем виде, его поиск часто представляет собой самостоятельную задачу и может потребовать специальных ухищрений. Однако существует метод, позволяющий найти общее решение линейного дифференциального уравнения непосредственным интегрированием без разложения уравнения на однородную и неоднородную части, применение которого наиболее удобно при решении задач теории колебаний [1]. Решение ищется специальным приемом, сочетающим метод неопределенных коэффициентов с интегрированием. Модифицируя метод, изложенный в [1], будем искать общее решение неоднородного уравнения так:

(1)

где k = const; F(t) – произвольная функция времени t, в виде

x = Acos kt, (2)

здесь A – искомая переменная функция.

Продифференцировав по времени выражение (2), получим

(3)

Подставив в уравнение (3) начальные условия x = x0, при t = 0, запишем соответствующие начальные условия для новой переменной A(t) следующим образом:

(4)

Дифференцируем далее равенство (3) и подставляем полученное выражение в исходное дифференциальное уравнение

. (5)

Если умножить обе части уравнения (5) на cos kt, то можно заметить, что в полученном уравнении

(6)

левая часть представляет собой полную производную

(7)

Таким образом, уравнение (6) можно проинтегрировать методом разделения переменных [1], умножив обе его части на dt,

(8)

Следовательно,

(9)

Учитывая второе начальное условие (4), получим

(10)

откуда

(11)

После интегрирования с учетом первого начального условия (4) находим значение искомой функции

(12)

и общее решение уравнения (1) при заданных начальных условиях как

(13)

Приведем некоторые ПРИМЕРЫ, демонстрирующие универсальность применяемого метода.

1. При F(t) = 0 уравнение (1) – обычное уравнение свободных гармонических колебаний ‒ имеет вид

, (14)

решение которого известно

. (15)

Очевидно, оно является частным случаем выражения (13).

2. При F(t) = t стандартное решение неоднородного уравнения

(16)

следует искать как сумму общего решения однородного и частного решения, подбираемого по виду правой части

, (17)

где C1, C2 – произвольные постоянные;

, (18)

здесь a – константа, подлежащая определению.

После подстановки частного решения (18) в уравнение (16) получим

k²at = t, (19)

откуда a = 1/k².

После определения частного решения находим значения произвольных постоянных C₁, C₂ по заданным начальным условиям. Для этого подставляем их в общее суммарное решение

(20)

и его производную

(21)

Подставляя t = 0, x = x0, в уравнения (20) и (21), получим

(22)

Таким образом,

(23)

Покажем, что представленное стандартное решение полностью соответствует решению (13). Для этого следует вычислить всего два интеграла

1) (24)

2) (25)

Подставив полученные выражения в (13), убеждаемся, что решение полностью совпадает с соотношением (23).

3. Резонанс.

Вынужденные колебания для случая резонанса рассмотрим на примере уравнения

(26)

с нулевыми начальными условиями

x =0, V₀ = 0. (27)

Для получения частного решения с заданными начальными условиями вычисляем указанные выше два интеграла

1) (28)

2) (29)

Таким образом,

(30)

Непосредственной подстановкой можно убедиться в том, что решение (30) удовлетворяет уравнению (26) и нулевым начальным условиям.

Разработанный метод легко распространить на случаи различных законов изменения неоднородности на разных участках. В работе [3] решение уравнения колебаний определялось на каждом участке отдельно и стыковалось граничными условиями: конечные условия предыдущего участка являлись начальными для следующего. Метод прямого интегрирования позволяет объединить все решения в одно.

4. Уравнение с кусочно-непрерывной неоднородностью. Если на разных участках изменения независимой переменной неоднородность представлена разными выражениями, то решение следует проводить аналогично составлению универсального уравнения упругой линии балки в сопротивлении материалов [5]: функцию, заданную на ограниченном участке, следует продолжить до конца промежутка интегрирования, приложив с противоположной стороны симметричную относительно оси абсцисс функцию.

В качестве примера рассмотрим дифференциальное уравнение

(31)

На I участке, где 0 ≤ t < π/3 FI(t) = 1. На II участок, где t ≥ π/3, продлеваем функцию FI(t) = 1, компенсируя ее действие симметричной относительно оси абсцисс функцией –FI(t) = –1. Складывая на участке II –FI(t) и заданное выражение, получим для второго участка FII(t) = –2. Таким образом, неоднородность в уравнении (31), начиная с I участка и до конца промежутка интегрирования представлена функцией FI(t) = 1. Начиная со II участка и до конца промежутка интегрирования F(t) = FI(t) + FII(t) = –2 (от участка к участку количество слагаемых увеличивается). Решаемое дифференциальное уравнение можно записать в виде

(32)

Далее применяем метод прямого интегрирования

(33)

(34)

Для t < π/3 решение записываем только по выражению на I-м участке

(35)

Для t ≥ π/3 общее решение уравнения (31) представляется суммой

(36)

Таким образом, на каждом участке решение получено независимо от остальных.

Красовский А.Н., д.ф.-м.н., профессор кафедры графики и деталей машин Уральского государственного аграрного университета, г. Екатеринбург;

Мальцев В.А., д.т.н., профессор, директор института материаловедения и металлургии Уральского федерального университета, г. Екатеринбург.

Работа поступила в редакцию 11.04.2014.

Библиографическая ссылка