Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,252

Байрашев К.А., Рекотов Р.А., Байрашева В.К.

1. Введение

В настоящее время отмечается возрастающий интерес к фракталам - структурам, состоящим из частей, которые в определенном смысле подобны друг другу. Фрактальная самоподобность достаточно широко распространена. Примерами из области медицины служат строение легких, ветвление кровеносных сосудов. Рассматривая нервные клетки через микроскоп с небольшим увеличением, можно увидеть отходящие от тела клетки разветвленные отростки. При большем увеличении обнаруживаются еще меньшие ответвления, отходящие от крупных ветвей и т.д.

Фракталы принято делить на идеальные и реальные [1]. Идеальные фракталы получают путем построения с использованием компьютерной графики. При переходе от одного этапа построения к следующему фракталы меняют длину, площадь или объем. А что происходит при этом с центром масс, если считать, что это важное понятие механики применимо и к фракталам, как к последовательности изменяющихся однородных тел?

В работе определяются центры масс (тяжести) некоторых идеальных фракталов.

2. Центр масс кривой Коха

Кривая Коха хорошо известна [1,2]. Она имеет вертикальную ось симметрии, следовательно, центр масс находится на этой оси. Обозначим ее 0у. Начало оси находится в середине начального горизонтального отрезка единичной длины. Длина кривой Коха на k-ом этапе построения равна f, k = 0,1,2,... Пусть ус - искомая ордината центра масс C кривой Коха при k→∞, f - ордината центра масс фрактальной линии на k-ом этапе. Легко найти, что f, где h высота равностороннего треугольника со стороной f, т.е. f. Можно доказать, что величина f равна сумме первых k членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем f, а именно: f. Следовательно, получаем f. Отсюда видно, что центр масс кривой Коха при k→∞ совпадает с центром масс некоторого равнобедренного треугольника высоты h, сплошь заполненного однородной массой. Можно дать две интерпретации полученного результата с учетом бесконечности предельной длины кривой Коха.

3. Центр масс кривой Пеано

Начальным элементом этой кривой является П-образная фигура, состоящая из трех однородных отрезков одинаковой плотности и единичной длины. Кривая Пеано также имеет вертикальную ось симметрии, которую обозначим 0у. Начало оси 0у располагаем в центре квадрата, который стремится занять кривая Пеано при k→∞. Можно доказать, что f, k = 1,2,3.... Откуда ясно, что f.

4. Центры масс "веточки" и треугольника (ковра) Серпинского

4.1 "Веточка" строится следующим образом. Исходный отрезок, считающийся расположенным вертикально, делится на 3 равные части. Вдоль отрезка с началом в его середине направляем вертикально вверх ось 0у. Из точек деления отрезка под углом 45°, отсчитываемым от положительного направления оси у, по разные стороны от нее проводим отрезки, уменьшенные втрое по сравнению с исходным. При этом образуются 5 отрезков одинаковой длины. Повторить процедуру по отношению к этим и вновь образуемым отрезкам можно многократно, до бесконечности. Разумеется, что угол в 45° каждый раз отсчитывается от того отрезка, из двух точек которого в разные стороны проводятся уменьшенные отрезки.

Легко видеть, что ось у является осью материальной симметрии. Принимая длину исходного отрезка за единицу, нетрудно найти, что f; f; f. Можно показать, что последовательность {f } является монотонно возрастающей и ограниченной сверху. Следовательно, она имеет предел.

4.2 Для ковра Серпинского [2] центр масс не зависит от номера k последовательности {f } и находится в точке пересечения медиан исходного однородного равностороннего треугольника. В отличие от рассмотренных фрактальных кривых, предельные длины которых бесконечны, следовательно, при конечной линейной плотности неограничены массы, у ковра Серпинского масса исчезает вследствие стремления предельной площади к нулю.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРА

  1. Мирзаджанзаде А.Х., Хасанов М.М., Бахтизин Р.Н. Моделирование процессов нефтегазодобычи. Нелинейность, неравновесность, неопределенность. - Москва - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. - 368 с.
  2. Ричард М. Кроновер. Фракталы и хаос в динамических системах. Москва: Постмаркет, 2000. - 352с.