Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,441

Еремин Е.Л., Теличенко Д.А.

Теория гиперустойчивости как прикладная задача математики нашла большое применение при решении задач синтеза дискретных адаптивных систем управления. Синтез, проводимый в рамках критерия гиперустойчивости, условно разбивается на ряд этапов, каждый из которых хорошо формализован и имеет самостоятельное решение [1].

Рассмотрим подробно задачу синтеза дискретной адаптивной системы управления непрерывным объектом, обладающим запаздываниями по состоянию и управлению. При решении данной задачи удобно воспользоваться результатами метода непрерывных моделей [2]. Согласно этому методу первоначально синтез рассматривается относительно непрерывной системы. В последствии, от полученных в непрерывном виде законов управления основного и дополнительного контуров осуществляется переход к их дискретному аналогу.

Пусть априорно неопределенный объект управления описывается следующими уравнениями пространства состояний:

а                                 (1)

где а; f; f; m - порядок числителя передаточной функции объекта управления.

Скалярное управление сформируем следующим образом:

f(2)

где r(t) - задающие воздействие;  f- отфильтрованный выходной сигнал объекта (1), получаемый с помощью фильтра вида

f,                                     (3)

где g(s), c(s)  - гурвицевы полиномы степени n-1.

Для компенсации запаздывания и задания желаемой динамики процессов управления в систему вводится явно-неявный эталонный упредитель [3]

f(4)

где f; f; f - гурвицев квазиполином степени l.

При этом минимальной форме представления эталонного упредителя (4) будет соответствовать явная форма записи, порядок уравнений в которой, соразмерен порядку объекта (1) [4].

Вводя в рассмотрение сигнал ошибки, сформированный относительно соединения объект управления + фильтр и эталонный упредитель + фильтр

f                                                        (5)

где f, f - переменные пространства состояния соответственно соединений «явный эталонный упредитель + фильтр» и «объект управления + фильтр», можно показать, что для системы (1)-(5) будет иметь место следующие эквивалентное математическое описание:

f                 (6)

где f - матрицы и вектор соответствующей размерности, записанные относительно последовательного соединения явного эталонного упредителя и фильтра.

Проблема гиперустойчивости эквивалентной системы (6) решается путем выполнения следующих двух условий:

во-первых: передаточная функция линейной стационарной части системы (6):

(7)f

должна быть строго положительно-вещественная функция, где D(s) - специально-вводимый в систему гурвицев полином, степени l-1;

во-вторых: должно обеспечиваться выполнение интегрального неравенства В.М. Попова вида:

f,(8)

где f, f - сигнал управления и обобщенный выход системы (6), расширенной с помощью дополнительно вводимого полинома D(s).

Таким образом, первое условие гиперустойчивости системы (6) формирует требования относительно параметров эталонного упредителя и полинома D(s), и наиболее просто может быть разрешено при выполнении частотного неравенства вида

f.                                       (9)

Второе условие гиперустойчивости (8) помогает синтезировать алгоритмы самонастройки регулятора (2), которые в нашем случае будут иметь вид:

f(10)

где f и  f- расширенный сигнал выхода соединения «объект + фильтр» и расширенный сигнал управления.

Согласно критерию гиперустойчивости при выполнении условий (8), (9) гарантируется не только устойчивость эквивалентно преобразованной системы, но и устойчивость исходной системы (1)-(4), (7), (10) - что и требовалось получить.

Если теперь от синтезированной непрерывной системы управления перейти к ее дискретному аналогу, то окончательно получим следующую гибридную адаптивную систему управления непрерывным объектом (1):

f                              (11)

f(12)

f,                                        (13)

f(14)

f,            (15)

f    (16)

где z - переменная Z-преобразования; f - дискретный аналог времени; f - шаг дискретизации; k=0,1,2,.... - номер шага.

Полученная таким образом дискретная система адаптивного управления (1), (11)-(16) может быть использована при управлении объектами, обладающими запаздываниями по состоянию и управлению. Предлагаемый в работе подход к решению проблемы гиперустойчивости позволяет получить систему адаптивного управления минимальной структурной сложности.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Landau I.D. Adaptive control systems: the model reference approach. - N.Y.: Marsel Dekker, 1979. 406 p.
  2. Деревицкий Д. П., Фрадков А. Л. Прикладная теория дискретных адаптивных систем. М.: Наука. 1981.
  3. Еремин Е.Л. Построение адаптивных систем с запаздыванием по управлению на основе эталонного упредителя //Информатика и системы управления. 2005. № 1(9). С. 122-128.
  4. Еремин Е.Л. Робастные алгоритмы нестационарных систем управления с явно-неявной эталонной моделью //Электронный журнал «Дифференциальные уравнения и процессы управления», №3, 2001, http://www.neva.ru/journal.