Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,222

MODELING OF POWER WAVE HYDRODYNAMIC FORCES ON THE SUPPORT STRUCTURES ABOVE WATER

Sukhinov A.I. 1 Nikitina A.V. 2 Fomenko N.A. 3 Timofeeva E.F. 4 Protsenko S.V. 5
1 Don State Technical University
2 Kalyaev Scientific Research Institute of Multiprocessor Computer Systems Southern Federal University
3 Bauman Moscow State Technical University
4 North-Caucasian Federal University
5 Chekhov Taganrog Pedagogical Institute
Работа посвящена разработке математической модели волновых процессов, учитывающей гидродинамическое воздействие на различные надводные береговые сооружения при наличии поверхностных волн в мелководных водоемах. Проведен натурный эксперимент по измерению различных параметров распространения волны на мелководье. Разработана двумерная модель волновых гидродинамических процессов, описывающая поведение водной среды как в случае наличия надводной конструкции, установленной на дне водоема, так и в случае его отсутствия. На основе построенных алгоритмов разработан комплекс программ, предназначенный для моделирования распространения волновых гидродинамических процессов. Комплекс позволяет задавать форму и интенсивность источника колебаний, геометрию надводного объекта, а также учитывает затопления и осушения прибрежных участков.
The work is dedicated to the development of a mathematical model of wave processes, taking into account the hydrodynamic effects on various surface onshore facilities in the presence of surface waves in shallow waters. Full-scale experiment to measure various parameters of wave propagation in shallow water. On the basis of experimental data, the values of the spectrum function of elevation level of the water environment. A two-dimensional model of the wave hydrodynamic processes describing the behavior of the aquatic environment in case of emergent design, mounted on the bottom of the reservoir, and in the case of his absence. On the basis of these algorithms developed a program designed to simulate the propagation of wave hydrodynamic processes. Built complex program allows you to set the shape and the intensity of the vibrations of surface geometry of the object, as well as take into account the flooding and drainage of coastal areas. Based on the developed software calculated the force action of waves on structures having support at the bottom of the pond.
waves
shallow water
flooding
surface structures
force action
1. Belotserkovskiy O.M., Gushhin V.A., Schennikov V.V. Metod rasshhepleniya v primenenii k resheniyu zadach dinamiki vyazkoy neszhimaemoy zhidkosti. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1975, Vol. 15, no. 1, pp. 197–207.
2. Vasilev V.S., Sukhinov A.I. Pretsizionnye dvumernye modeli melkikh vodoemov. Mathematical modeling, 2003, Vol. 15, no. 10, pp. 17–34.
3. Gushhin V.A., Matyushin P.V. Matematicheskoe modelirovanie i vizualizatsiya transformatsii vikhrevoy struktury techeniya okolo sfery pri uvelichenii stepeni stratifikatsii zhidkosti. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2011, Vol. 51, no. 2, pp. 268–281.
4. Konovalov A.N. K teorii poperemenno-treugolnogo iteratsionnogo metoda. Siberian Mathematical Journal, 2002, Vol. 43, no. 3, pp. 552–572.
5. Samarskiy A.A. Teoriya raznostnykh skhem [The theory of difference schemes] Moscow, Nauka, 1989. 616 p.
6. Samarskiy A.A., Nikolaev E.S. Metody resheniya setochnykh uravneniy [Methods for solving grid equations] Moscow, Nauka, 1978. 592 p.
7. Sukhinov A.I., Chistyakov A.E. Adaptive modified alternating-triangular iterative method for solving grid equations with selfadjoint operator. Mathematical modeling, 2012, Vol. 24, no. 1, pp. 3–20.
8. Sukhinov A.I., Chistyakov A.E. Parallel implementation of the three-dimensional model of the hydrodynamics of shallow reservoirs in the supercomputing system. Computational Methods and Programming: New computing technologies, 2012, Vol. 13, pp. 290–297.
9. Sukhinov A.I., Chistyakov A.E., Alekseenko E.V. Numerical solution of three-dimensional hydrodynamic model for shallow water basins on supercomputing system. Mathematical modeling, 2011, Vol. 23, no. 3, pp. 3–21.
10. Sukhinov A.I., Chistyakov A.E., Protsenko E.A. Matematicheskoe modelirovanie transporta nanosov v pribrezhnykh vodnykh sistemakh na mnogoprotsessornoy vychislitelnoy sisteme. Vychislitelnye metody i programmirovanie, 2014, Vol. 15, pp. 610–620.
11. Sukhinov A.I., Chistyakov A.E., Timofeeva E.F., Shishenya A.V. Mathematical model of the coastal wave processes. Mathematical modeling, 2012, Vol. 24, no. 8, pp. 32–44.

В результате сложного взаимодействия волн с рельефом дна, береговой линией и различными объектами наблюдается их рефракция, дифракция и изменения структуры береговой зоны. Возникает необходимость в построении математических моделей, учитывающих особенности рельефа дна прибрежной акватории и наличие надводных сооружений. Не приуменьшая целесообразности использования трехмерных моделей волновых гидродинамических процессов [8–11], следует подчеркнуть важность разработки двумерных моделей гидродинамики при исследовании воздействия волн на надводные объекты, на основе данных моделей при приемлемой точности можно производить оперативные численные расчеты, при условии ограниченности вычислительных ресурсов. Полученные численные результаты распространения гидродинамических колебаний позволят провести оценку воздействия волн на объекты, находящиеся в прибрежной зоне мелководных водоемов.

Постановка задачи волновой гидродинамики

Для построения двумерной математической модели движения водной среды использовалась трехмерная гидростатическая модель. Исходными уравнениями гидродинамики являются:

– система уравнений Навье – Стокса

Sukhinov01.wmf

Sukhinov02.wmf (1)

– уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости

Sukhinov03.wmf (2)

– уравнение гидростатики

Sukhinov04.wmf (3)

Система уравнений (1)–(3) рассматривается при следующих граничных условиях: на дне условие непроницаемости и трения [2–5]

Sukhinov05.wmf Sukhinov06.wmf Vn = 0,

на поверхности задается подъем уровня и ветровые напряжения

Sukhinov07.wmf Sukhinov08.wmf Sukhinov09.wmf

на боковых границах условие скольжения без трения

Sukhinov10.wmf Sukhinov11.wmf Sukhinov12.wmf

где ξ – функция подъема уровня (функция возвышения); V = {u, v, w} – вектор скорости движения водной среды; P – давление; μ, η – коэффициенты турбулентного обмена по горизонтальному и вертикальному направлениям соответственно; g – ускорение свободного падения; ρ – плотность жидкости; τx, τy – тангенциальное напряжение на дне жидкости.

Уравнение расчета давления в гидростатическом приближении при наличии надводной конструкции, установленной на дне водоема:

Sukhinov13.wmf

Доопределим функцию возвышения в случае наличия на поверхности надводного тела:

Sukhinov14.wmf

где χ – функция, описывающая геометрию дна надводного тела.

В уравнение неразрывности (2) в гидростатическом случае запишем в виде

Sukhinov15.wmf (4)

где θ = min(χ, ξ); H = h + θ; h – глубина водоема.

Система уравнений (1) с учетом гидростатического приближения в двумерном случае имеет вид

Sukhinov16.wmf

Sukhinov17.wmf (5)

Предложенная двумерная модель волновых гидродинамических процессов описывает поведение водной среды как в случае наличия надводной конструкции, установленной на дне водоема, так и в случае ее отсутствия.

Дискретная модель гидродинамики

Область моделирования вписана в прямоугольник и покрыта равномерной прямоугольной расчетной сеткой ω = ωt×ωx×ωy:

Sukhinov18.wmf

Sukhinov19.wmf

Sukhinov20.wmf

где n, i, j – индексы по временной координате и пространственным координатным направлениям Ox, Oy соответственно; ht, hx, hy – шаги по временной координате и пространственным координатным направлениям Ox, Oy соответственно; Nt, Nx, Ny – количество узлов по временной координате и пространственным координатным направлениям Ox, Oy соответственно; lt, lx, ly – длина расчетной области по временной координате и пространственным координатным направлениям Ox, Oy соответственно.

Расчетные ячейки представляют собой прямоугольники, они могут быть заполненными, частично заполненными или пустыми [11]. Поле скоростей и давление рассчитываются в вершинах ячейки. Центры ячеек и узлы разнесены на hx/2 и hy/2 по координатам x и y соответственно. Обозначим через oi,j «заполненность» ячейки (i, j). Вершинами ячейки (i, j) являются узлы (i, j), (i – 1, j), (i, j – 1), (i – 1, j – 1). Вводятся коэффициенты q0, q1, q2, q3, q4, описывающие «заполненность» областей, находящихся в окрестности ячейки. Коэффициенты qm можно вычислить по формулам

Sukhinov21.wmf

Sukhinov22.wmf

Sukhinov23.wmf Sukhinov24.wmf

Sukhinov25.wmf

Sukhinov26.wmf (6)

Рассмотрим двумерную модель движения водной среды, представленную уравнениями (4), (5). Воспользуемся схемами расщепления по физическим процессам [1–4] для системы (5). При этом решения задачи находим вначале на некоем промежуточном временном слое:

Sukhinov27.wmf

Sukhinov28.wmf (7)

затем на следующем временном слое

Sukhinov29.wmf Sukhinov30.wmf (8)

Для решения задачи (8) вычислим функцию возвышения уровня, дифференцируя первое уравнение системы по переменной x, второе по переменной y, сложив их, имеем

Sukhinov31.wmf

Полученное выражение с учетом уравнения неразрывности примет вид

Sukhinov32.wmf (9)

Дискретные аналоги операторов конвективного Sukhinov33.wmf и диффузионного Sukhinov34.wmf переноса, учитывающие частичную заполненность ячеек, в случае граничных условий третьего рода Sukhinov35.wmf запишем в следующем виде:

Sukhinov36.wmf

Sukhinov37.wmf

Полученные сеточные уравнения решены на основе адаптивного модифицированного попеременно-треугольного итерационного метода вариационного типа [4, 6, 7].

Измерение параметров волновых процессов на основе натурных наблюдений

Проведен натурный эксперимент по измерению различных параметров распространения волны на мелководье. На основе экспериментальных данных получены значения спектра функции возвышения уровня водной среды. Для обработки результатов натурных измерений использован тригонометрический интерполяционный полином. Расчет коэффициентов ряда Фурье выполнен согласно выражению

Sukhinov38.wmf

где [xn] – заданная последовательность чисел с постоянным шагом дискретизации размерности N.

С учетом обозначений: a = Rex, b = Imx, тригонометрическая функция, проходящая через точки {n, xn}, примет вид

Sukhinov39.wmf

На рис. 1 точками отмечены значения спектра волны, линиями представлены функции, распределенные по нормальному и логнормальному законам и имеющие математические ожидания и дисперсии, соответствующие реальным натурным данным.

На рис. 2 красным представлена функция, распределенная по логнормальному закону, синим – функция, распределенная по нормальному закону, черным – реальные натурные значения функции возвышения уровня.

В таблице приведены значения глубин, на которых проводились измерения, а также значения периода волны, средняя и максимальная высота волны, дисперсии функции возвышения уровня, зависящей от глубины, а также значение коэффициентов корреляции с нормальным и логнормальным распределениями.

Волновые процессы по большей части можно описать тремя величинами: математическим ожиданием (период волны), дисперсией и амплитудой нормального или логнормального распределения компонент спектра. Эти величины получены при обработке данных натурного эксперимента и используются в качестве граничных условий для математических моделей волновых гидродинамических процессов.

pic_51.tif

Рис. 1. Спектр функции возвышения уровня: 1 – нормальное распределение; 2 – логнормальное распределение

pic_52.wmf

Рис. 2. Сопоставление результатов измерений с нормальным и логнормальным распределением

№ п/п

Глубина, см

Период волны, с

Средняя высота волны, см

Максимальное значение высоты волны, см

Дисперсия функции возвышения уровня

Корреляция с нормальным распределением

Корреляция с логнормальным распределением

1

12,734

3,181

1,434

3,266

3,384

0,67622403

0,72818161

2

21,657

3,187

2,216

5,127

2,875

0,71970734

0,75497854

3

34,296

3,257

2,673

6,673

2,587

0,76756352

0,80809736

4

47,696

3,208

2,903

7,278

2,373

0,80434285

0,81516631

5

50,221

3,238

3,408

8,779

2,465

0,80072646

0,82234947

6

56,95

3,323

3,423

10,05

2,539

0,82520735

0,83499856

7

58,256

3,094

3,538

13,742

2,468

0,70451786

0,75010325

8

75,284

3,482

3,595

12,716

2,317

0,80464887

0,82816629

9

83,353

3,056

4,472

14,647

2,498

0,7677805

0,80442466

10

123,251

3,23

4,671

15,749

2,327

0,78716382

0,82809779

 

Результаты численных экспериментов

Разработан комплекс программ, предназначенный для моделирования распространения волновых гидродинамических процессов, который позволяет задавать форму и интенсивность источника колебаний, а также геометрию надводного объекта. Результаты численных экспериментов по моделированию распространения волновых гидродинамических процессов при обтекании надводного тела водной средой с учетом геометрии дна объекта, находящегося в жидкости, и дна водоема приведены на рис. 3.

В качестве примера практического использования проблемно-ориентированного комплекса программ решается задача расчета гидродинамического воздействия волн опоры на сооружения. Размеры надводной конструкции: ширина 5 м, длина 10 м, глубина погружения 20 см. Конструкция установлена на дне водоема при помощи шести опор. Выделенный участок моделирования имеет размеры 50 на 50 м и глубину 1 м. Источник возмущений задается на некотором расстоянии от надводного объекта. В начальный момент времени жидкость находится в состоянии покоя. Требуется определить последующее движение водной среды при наличии на поверхности надводного объекта и силовые гидродинамические нагрузки на опоры сооружения. Для решения поставленной задачи использована сетка размерами 100×100, шаг по времени равен 0,01 с.

Рисунки иллюстрируют, что при распространении плоской волны, которая встречает препятствие в виде надводного тела, происходит отражение волновых колебаний от неподвижного объекта, что в свою очередь приводит к изменению профиля волны. Источник колебаний распределен по левой границе и имеет синусоидальную форму. Разработанный программный комплекс при моделировании распространения поверхностных колебаний учитывает выход волны на берег (рис. 5).

pic_53.tif

Рис. 3. Движение водной среды

pic_54.tif

Рис. 4. Функция возвышения уровня при обтекании водной средой надводного тела, имеющего опору

pic_55.tif

Рис. 5. Результаты расчета по распространению волновых колебаний

Заключение

Работа посвящена разработке двумерной модели, учитывающей гидродинамическое воздействие на различные надводные береговые сооружения при наличии поверхностных волн в мелководных водоемах. На основе экспериментальных данных получены значения спектра функции возвышения уровня водной среды. Из результатов экспериментальных наблюдений по изучению волновых процессов сделан вывод о том, что колебания поверхности водной среды могут быть описаны тремя величинами: математическим ожиданием, дисперсией и амплитудой нормального или логнормального распределения компонент спектра. Результаты численных экспериментов по моделированию распространения гидродинамических волновых процессов дают возможность провести оценку воздействия волн на сооружения, имеющие опору на дне водоема.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ по проектам № 16-37-00129, № 15-07-08626, № 15-01-08619.