Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,674

QUASISTATIONARY TEMPERATURE FIELD IN A THIN PERMEABLE ANISOTROPIC LAYER IS IN THE ZERO APPROXIMATION

Filippov A.I. 1 Akhmetova O.V. 1 Zelenova M.A. 1
1 Sterlitamak branch of Bashkir State University
1175 KB
A mathematical model, allowing on the basis of the asymptotic method to build the analytical and numerical solutions of heat conduction problems. The method is demonstrated on the example of a phased solution of the nonstationary problem of the rising heat of a cylindrical fluid flow surrounded by a continuous array. The major productions of boundary value problems for the zero and the first coefficients of the asymptotic expansion. Found their analytical solutions. The problem of for the remainder. It was found that the zero approximation describes «asymptotically average» temperature, and the first expansion coefficient found with additional conditions, the following from the requirement of trivial solutions of the homogenized problem for the remainder term, for large time determines the stationary temperature fields. An exact solution of a parameterized problem. The validity of the developed method is proved by comparison of the asymptotic solutions with expansion coefficients of the exact solution of a parameterized problem in the Maclaurin series for the formal parameter.
asymptotic method
formal parameter
temperature field
well
the heat transfer
1. Alishaev M.G. Izvestija Rossijskoj akademii nauk. Jenergetika, 2010, no. 1, pp. 73–84.
2. Alhasova D.A. Trudy Instituta geologii Dagestanskogo nauchnogo centra RAN, 2009, no. 55, pp. 145–147.
3. Ditkin V.A., Prudnikov A.P. Spravochnik po operacionnomu ischisleniju, Moscow, Vysshaja shkola, 1965, 466 p.
4. Rubinshtejn L.I. Temperaturnye polja v neftjanyh plastah. Moscow: Nedra, 1971. 276 p.
5. Filippov A.I., Ahmetova O.V., Zelenova M.A., Krupinov A.G. Inzhenerno – fizicheskij zhurnal, 2011, vol. 85, no. 5, pp. 1052–1064.
6. Filippov A.I., Ahmetova O.V., Zelenova M.A., Rodionov A.S. Inzhenerno-fizicheskij zhurnal, 2013, vol. 86, no. 1. pp. 172–190.
7. Filippov A.I., Ahmetova O.V., Kabirov I.F. Prikladnaja mehanika i tehnicheskaja fizika, 2013, vol. 54, no. 6 (322), pp. 95–111.
8. Filippov A.I., Ahmetova O.V., Rodionov A.S. Teplofizika vysokih temperatur, 2013, vol. 51, no. 2, pp. 277–286.
9. Filippov A.I., Ahmetova O.V., Rodionov A.S. Temperaturnye polja laminarnyh i turbulentnyh potokov zhidkosti, Ufa, RIC UGNTU, 2013. 128 p.
10. Filippov A.I., Mihajlov P.N., Ahmetova O.V. Teplofizika vysokih temperature, 2006, vol. 44, no. 5, pp. 747–755.
11. Filippov A.I., Mihajlov P.N., Ahmetova O.V. Sibirskij zhurnal industrial’noj matematiki, 2004, vol. VII, no. 1, pp. 135–144.
12. Chuprov I.F. Neftepromyslovoe delo, 2008, no. 12, pp. 28–31.

В технических приложениях большое значение имеют задачи по определению осредненных по области значений физических параметров, например тепловой эффективности [4], потерь тепла [12], тепловой производительности теплообменников [1], термоупругих напряжений [2] и т.д. Для этого созданы специальные методы, например схема Ловерье [4, 12], метод «сосредоточенной емкости» [1, 2] и др. Однако при использовании этих методов возникают проблемы определения погрешностей физических параметров или приближенного детального описания полей в области осреднения.

В работах [5–8] и [10–11] показано, что такие задачи могут быть успешно решены на основе асимптотического метода при специальном выборе формального параметра асимптотического разложения. Применение этого метода к задачам сопряжения областей, в одной из которых преобладает конвективная теплопроводность, и его сущность на примере известной задачи Коши рассмотрены в монографии [9]. Там же описан случай применения формального параметра в квазистационарной задаче теплообмена, где рассмотренный метод асимптотического разложения приводит к точному решению в ограниченном числе слагаемых разложения.

В данной статье демонстрируется поэтапное решение нестационарной задачи теплообмена восходящего цилиндрического потока флюида, окруженного сплошным массивом и сравнение полученных асимптотических выражений с коэффициентами разложения точного решения в ряд Маклорена.

Параметризация. Для простоты математическая постановка задачи о температурном поле в вертикальной трубе с учетом адиабатического эффекта в восходящем потоке представлена в безразмерных переменных [11]

filippova01.wmf r > 1, t > 0; (1)

filippova02.wmf

0 < r < 1, t > 0; (2)

filippova03.wmf

filippova04.wmf (3)

filippova05.wmf

filippova06.wmf (4)

В задаче (1)–(4) введен параметр асимптотического разложения e формальной заменой L на e×L. Устремление e к 0 соответствует возрастанию радиальной теплопроводности до бесконечности, что приводит к выравниванию температурного фронта по r в области от 0 до 1.

Разложение по асимптотическому параметру. Для получения асимптотических решений задачу (1)–(4) представим в виде асимптотической формулы по параметру ε

filippova07.wmf

filippova08.wmf (5)

Подставляя (5) в (1)–(4), запишем разбитую по степеням параметра ε задачу

filippova09.wmf (6)

filippova10.wmf (7)

filippova11.wmf

filippova12.wmf (8)

filippova13.wmffilippova14.wmf

filippova15.wmf (9)

Из задачи (6)–(9) можно выписать постановку для любого из коэффициентов асимптотического разложения при одинаковых степенях параметра асимптотического разложения. Однако уравнение (7) и условие (8) содержат соседние коэффициенты разложения при одинаковых степенях ε и в этом смысле являются «зацепленными».

Расцепление задачи для нулевого коэффициента разложения. Приравнивая коэффициент e к нулю из (7), получим выражение

filippova16.wmf

интегрируя которое с учетом условия (8) и требования ограниченности решения на бесконечности, определяем, что нулевой коэффициент асимптотического разложения температуры в области 0 < r < 1 не зависит от радиальной координаты. Используя этот факт, запишем «зацепленное» выражение из (7) при первой степени коэффициента асимптотического разложения в виде

filippova17.wmf (10)

Интегрируя (10) с использованием условий (8), получим уравнение, содержащее только нулевые коэффициенты разложения

filippova18.wmf

0 < r < 1, t > 0.

Постановка и решение задачи в нулевом приближении. Окончательно постановка задачи для нулевого коэффициента разложения запишется как

filippova19.wmf r > 1, t > 0; (11)

filippova20.wmf

0 < r < 1, t > 0; (12)

filippova21.wmf filippova22.wmf

filippova23.wmf. (13)

Заметим, что, усреднив задачу (1)–(4) по r от 0 до 1 интегрально, получим постановку

filippova24.wmf r > 1, t > 0;

filippova25.wmf

0 < r < 1, t > 0;

filippova26.wmf filippova27.wmf

filippova28.wmf

которая совпадает с (11)–(13) с точностью до обозначений. Это определяет физический смысл нулевого коэффициента разложения как некоторым образом осредненное в области 0 < r < 1 поле температуры. В более сложных случаях нелинейных задач и задач с переменными коэффициентами, когда интегральная процедура осреднения не может быть осуществлена, построение нулевого коэффициента представляет асимптотическое осреднение.

Решение задачи для нулевого коэффициента разложения отыскивается с использованием преобразования Лапласа – Карсона [3]. В пространстве изображений задача (11)–(13) примет вид

filippova29.wmf r > 1; (14)

filippova30.wmf r < 1; (15)

filippova31.wmf filippova32.wmf (16)

Выражение (14) представляет собой известное уравнение Бесселя, решение которого с учетом (16) запишется как filippova33.wmf. Подставляя в (15) производную от filippova34.wmf при r = 1, получим для T(0)u алгебраическое уравнение. Таким образом, решения задачи (14)-(16) представятся как

filippova35.wmf r < 1;

filippova36.wmf r > 1. (17)

Уточнение физических полей в области осреднения достигается построением первого коэффициента разложения, которое в сложных случаях требует добавочных условий.

Математическая постановка задачи для первого коэффициента разложения. «Расцепленная» математическая постановка для первого коэффициента разложения имеет вид [5]

filippova37.wmf r > 1, t > 0; (18)

filippova38.wmf

r < 1, t > 0; (19)

filippova39.wmf

filippova40.wmf filippova41.wmf (20)

В пространстве изображений Лапласа – Карсона задача для первых коэффициентов разложения (18)–(20) запишется как

filippova42.wmf r > 1; (21)

filippova43.wmf

r < 1; (22)

filippova44.wmf filippova45.wmf (23)

Последовательно интегрируя (10), получим общий вид выражения для первого коэффициента разложения

filippova46.wmf

которое в пространстве изображений Лапласа – Карсона примет вид

filippova47.wmf

Решение задачи для первого коэффициента разложения отыскивается аналогично решению для нулевого приближения. Выражения для первого коэффициента разложения в скважине и окружающей среде представятся как

filippova48.wmf (24)

filippova49.wmf (25)

соответственно. Выражения для первого коэффициента асимптотического разложения зависят от радиальной координаты во всех областях и позволяют изучать изменение температуры по радиусу трубы. Кроме того, из выражений для первого коэффициента разложения следуют стационарные решения задач, полученные при формальном устремлении времени к бесконечности. В этом смысле построение первого коэффициента разложения представляет важнейшую задачу определения стационарных решений ряда задач теории теплопроводности.

В рассматриваемой задаче (19)–(21) все условия выполняются. В более сложных случаях требуется ослабление начальных и (или) граничных условий. Искомые условия определяются из требования тривиального решения осредненной задачи для остаточного члена, и в этом смысле соответствующие выражения для нулевого и первого приближения названы «в среднем точными».

Задача для остаточного члена. Обозначим сумму слагаемых после первого коэффициента разложения за остаточный член Θ, тогда решение задачи (1)–(4) строится в виде асимптотической формулы

filippova50.wmf

filippova51.wmf (26)

где Θ – остаточный член.

filippova52.wmf, r > 1, (27)

filippova53.wmf r < 1, (28)

filippova54.wmf filippova55.wmf (29)

filippova56.wmf filippova57.wmf filippova58.wmf (30)

Интегрально осредненная в области 0 < r < 1 задача для остаточного члена имеет вид

filippova59.wmf (31)

filippova60.wmf (32)

filippova61.wmf filippova62.wmf

filippova63.wmf filippova64.wmf (33)

Из осреднения выражения, следующего из (6), и условия, следующего из (8), получим

filippova65.wmf

Таким образом, задача (32)–(34) имеет только тривиальное решение. Сумма нулевого и первого коэффициентов разложения представляют собой «в среднем точное» асимптотическое решение для задачи (1)–(4) [5–8].

Точное решение задачи. При решении задачи асимптотическими методами возникает вопрос о близости точного и асимптотического решений. Достоверность развитого метода может быть обоснована сопоставлением полученных асимптотических решений с коэффициентами разложения точного решения параметризованной задачи в ряд Маклорена по формальному параметру. Представленный в данной статье случай допускает точное решение задачи (1)–(4) в пространстве изображений Лапласа – Карсона

filippova66.wmf (34)

filippova67.wmf (35)

filippova68.wmf

filippova69.wmf

filippova70.wmf (36)

Решения задачи (35)–(37) имеют вид

filippova71.wmf (37)

filippova72.wmf (38)

Нетрудно убедиться, что Tu при ε → 0 совпадает с выражением (17), а filippova73.wmf - с выражением (24) для первого коэффициента разложения. Такое сопоставление является прямой проверкой справедливости развитого выше метода решения задач сопряжения.

Рецензенты:

Мустафина С.А., д.ф.-м.н., профессор, декан физико-математического факультета, Стерлитамакский филиал, Башкирский государственный университет, г. Стерлитамак;

Гималтдинов И.К., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой прикладной информатики и программирования, Стерлитамакский филиал, Башкирский государственный университет, г. Стерлитамак.