Резонаторы на основе ферромагнитных пленок железо-иттриевого граната (ЖИГ) находят до сегодняшнего времени различные технические применения в микроволновой электронике [1–4]. Ранее было показано, что увеличение мощности входного СВЧ-сигнала, подаваемого на вход ЖИГ-резонатора, приводит к возрастанию амплитуды колебаний намагниченности и, как следствие, к возрастанию нелинейного сдвига частоты колебаний, что в ряде случаев является нежелательным [5]. Вместе с тем возрастание входной мощности, приводит к возрастанию нелинейных положительных потерь, которые могут ограничивать или даже компенсировать негативное влияние нелинейного сдвига частоты колебаний. Поэтому актуальной является задача о количественном исследовании возможности такого ограничения. В данной работе проведено теоретическое исследование динамики намагниченности с учетом двух одновременных нелинейных факторов – затухания и сдвига частоты.
Математическая модель
Колебания намагниченности в пленках ЖИГ в рамках исходной модели описывались системой дифференциальных уравнений Ландау-Лифшица-Гильберта (ЛЛГ) [1–4] вида
, (1)
где M(r,t) – вектор намагниченности пленки, являющийся функцией времени t и координаты r, 
– вектор эффективного магнитного поля (W – полная энергия ферромагнетика), μ0 – магнитная постоянная, g – гиромагнитное отношение, αG – постоянная затухания, M0 – намагниченность насыщения.
Решать уравнение (1) необходимо совместно с уравнениями Максвелла, устанавливающими связь между переменным дипольным магнитным полем и переменной намагниченностью. Названная связь для случая ферромагнитных пленок определяется с помощью тензорных функций
Грина [6]. Анализировать получаемую итоговую систему уравнений сложно [1], поэтому задачу несколько упрощают. Приведем схему упрощения соответствующих уравнений (см. подробнее в [3, 4, 7]). Переходят от системы уравнений (1) к системе с новыми круговыми переменными 
(где тройка ξ, η, ς соответствует равновесному направлению намагниченности). Далее, переходя к пространственным компонентам Фурье намагниченности 
(k – волновой вектор), получаем систему связанных уравнений, которую запишем в Гамильтоновом виде
, (2)
где Гамильтониан H имеет вид
. (3)
Здесь Ak, Bk – константы, а 
– нелинейные функции 
.
Далее удобно перейти к нормальным координатам 
, чтобы получить в линейном приближении независимые уравнения, пользуются дигонализацией Гамильтониана (3). Итоговое комплексное дифференциальное уравнение, приведенное к каноническому виду относительно
переменной u (индекс k опущен), которая характеризует комплексные амплитуды спиновых волн пленки ЖИГ, запишем в виде
, (4)
где ω0 – резонансная частота колебаний, N – коэффициент нелинейного сдвига частоты, ωr0 – частота релаксации при нулевой амплитуде, v1,2 – параметры, характеризующие нелинейное затухание, 
– параметр внешнего воздействия, зависящий от подводимой СВЧ-мощности Pinc и ωinc – частота внешнего воздействия.
Перейдем от уравнения (4) для комплексной амплитуды u спиновой волны к уравнению относительно медленно меняющихся амплитуды U и фазы φ (в качестве опорной частоты для получения укороченных уравнений примем частоту свободных колебаний ω0) в виде
. (5)
Подставляя (5) в (4), усредняя (4) на периоде колебаний 
и разделяя действительную и мнимую части, получаем систему двух дифференциальных уравнений
(6)
Перепишем систему (6) относительно разности фаз ψ = ∆ω∙t + φ (примем ω0 – ωвн = ∆ω) в следующем виде:
(7)
Получили итоговую систему укороченных уравнений, которую и будем исследовать в дальнейшем. Параметр N может принимать как положительные, так и отрицательные значения в зависимости от характеристик пленки, напряженности внешнего магнитного поля и т.д. Далее будем предполагать, что N ≥ 0. Заметим, что величиной и знаком N легко «управлять» путем выбора направления внешнего поля подмагничивания относительно плоскости пленки [8].
Результаты моделирования
Найдем неподвижные точки U0, ψ0 системы (7). Для этого приравняем правые части (7) нулю, оставим в правых частях только тригонометрические функции и, возводя полученные выражения в квадрат и складывая, получаем уравнение:
, (8)
где 
– стационарная мощность колебаний. Уравнение (8) является алгебраическим уравнением пятого порядка относительно P0, которое может иметь одно, три или пять действительных решений. Соответственно в системе может быть одна, три или пять неподвижных точек. Устойчивость найденных решений можно определить, задаваясь вариациями амплитуды и фазы вблизи стационарных значений U0, ψ0 в виде U = U0 + ξ, ψ = ψ0 + η. Уравнения для вариаций ξ, η имеют вид
(9)
Характеристический показатель после некоторых упрощений запишем как
. (10)
Рассмотрим устойчивость системы, исходя из условия 
при изменении частоты генерации и входной СВЧ-мощности. На рис. 1 представлены зависимости резонансной частоты f0 от падающей мощности Pinc
для трех значений NI = 0, NII = 2π·0.1 ГГц, NIII=2π·0.2 ГГц и семейство резонансных кривых для Pinc = 60 мВт при нулевых коэффициентах v1,2 = 0. Видим, что с увеличением параметра N при одной и той же входной мощности Pinc частота колебаний возрастает. Причем с увеличением N при определенных значениях N > Nкр в системе наблюдается бистабильность колебаний. Анализ устойчивости показывает, что в области бистабильности две неподвижные точки являются устойчивыми и одна является неустойчивой, соответствующей отрицательному наклону резонансной кривой. Методику анализа устойчивости, использовавшуюся в настоящей работе, можно найти в различных источниках (см. напр. [9–11]).
Рис. 1. Зависимости резонансной частоты f0 от падающей мощности Pinc (а)
и соответствующие резонансные кривые для Pinc = 60 мВт (б) для трех
значений NI = 0, NII = 2π·0.1 ГГц, NIII = 2π·0.2 ГГц
Рассмотрим теперь случай, когда нелинейное затухание существенно оказывает влияние на динамику системы при фиксированной неизохронности. На рис. 2, а представлено семейство зависимостей резонансной частоты f0 от падающей мощности Pinc при отсутствии нелинейного затухания v1,2 = 0 (I), при умеренном затухании v1 = 2·102, v2 = 2·104 (II) и сильном затухании v1 = 2·103, v2 = 2·104 (III). Зависимость I является линейной по мощности. Для зависимости II, т.е. при умеренном затухании, частота колебаний сдвигается слабее, чем в случае линейного затухания. Данный результат находится в хорошем качественном соответствии с работой [5]. Однако при сильном нелинейном затухании возможно насыщение нелинейного сдвига частоты и даже обратный ход зависимости f0(Pinc). Такой обратный ход объясняется доминированием сдвига частоты, вызванного нелинейным затуханием, над сдвигом частоты, вызванным собственной нелинейностью системы, определяемой нелинейным коэффициентом N. Коэффициенты нелинейного затухания v1,2 являются феноменологическими и могут быть получены в результате сопоставления теории и эксперимента.
Отметим, что в реальном эксперименте свойства пленки фиксированы, т.е. v1,2 – константы, а изменяться может, например, значение внешнего магнитного поля и угол наклона между полем и плоскостью образца, что задает параметр неизохронности N [8]. На рис. 2, б представлено семейство зависимостей резонансной частоты от падающей мощности при фиксированных коэффициентах v1 = 2·103, v2 = 2·104, и изменении N. Построенные зависимости (I, II, III) показывают, что увеличение неизохронности N приводит к уменьшению влияния нелинейного затухания и большему положительному увеличению резонансной частоты.
Таким образом, можно заключить, что для любой заданной пленки ЖИГ, можно подобрать такую взаимную ориентацию внешнего магнитного поля и пленки, что эффект нелинейного затухания будет приводить к ограничению или даже полной компенсации нелинейного сдвига частоты колебаний. Описанные нелинейные явления могут быть использованы при построении различных нелинейных микроволновых спин-волновых устройств (генераторов, фильтров, ограничителей мощности и т.д.) на основе пленочных ферромагнитных резонаторов.
Рис. 2. Зависимости резонансной частоты f0 от падающей мощности
Pinc для (а) N = 2π·0,1 ГГц, v1,2 = 0 (I), v1 = 2·102, v2 = 2·104 (II), v1 = 2·103, v2 = 2·104 (III)
и для (б) v1 = 2·103, v2 = 2·104, N = 0 (I), N = 2π·0,1 ГГц (II), N = 2π·0,2 ГГц (III)
Заключение
В результате исследования было показано, что наличие нелинейного затухания при достаточно больших мощностях входного сигнала существенно ограничивает и в некоторых случаях полностью компенсирует влияние нелинейного сдвига частоты колебаний намагниченности в ферромагнитных пленках железо-иттриевого граната.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект мол_нр № 14-32-50277).
Рецензенты:Перов Н.С., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой магнетизма физического факультета МГУ, МГУ им. М.В. Ломоносова, г. Москва;
Бичурин М.И., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой «Проектирование и технология радиоаппаратуры», Институт электронных структур и информационных систем, Новгородский государственный университет, г. Великий Новгород.
Работа поступила в редакцию 16.12.2014.