Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,222

A NUMERICAL ALGORITHM AND MODELING OF THERMO-STRESSED STATE OF HEAT-RESISTANT ALLOY ROD IN THE PRESENCE OF HEAT EXCHANGE, HEAT INSULATION AND TEMPERATURE CONSTANT INTENSITY

Tashenova Z.M. 1, 2 Nurlybaeva E.N. 1, 2 Zhumadillaeva A.K. 1, 2 Kudaykulov A.K. 1, 2
1 L.N. Gumilyov Eurasian National University, Astana
2 Kazakh National Technical University after K.I. Satpaev, Almaty
В данной работе на основе законов сохранения энергии в сочетании применения сплайн функции в пределах каждого дискретного элемента и минимизации полной тепловой энергии строится разрешающая система линейных алгебраических уравнений, решение которого позволит строить поле распределения температур по длине исследуемого несущего элемента конструкций, оба конца которого жестко защемлены. Часть боковой поверхности теплоизолирована, а на ограниченном участке задана температура, по площадям двух защемленных концов несущего элемента. По определенным законам поле распределения строится функционал потенциальной энергии упругих деформаций с учетом наличия поля температур. Далее, минимизируя ее по узловым значениям перемещений, строится вторая разрешающая система уравнений, решение которой позволит строить поле перемещения, составляющих деформаций и напряжений. Разработанный вычислительный алгоритм и метод относительно универсален в смысле возможности численного решения класса установивщихся задач термонапряженного состояния несущих элементов конструкции, которые работают при одновременном наличии локальных температур, тепловых потоков, теплообменов и теплоизоляций.
In this work on the base of the energy conservation law and application of spline functions in the bounds of each discrete element and minimization of total thermal energy the system of linear algebraic equations was built. The solution of this system allows to construct the temperature distribution field subject to the length of investigated construction element, both ends of which are rigidly restrained, the part of lateral surface is heat insulating and the temperature is known on restricted section. By using the areas of two restricted ends of bearing component, by using the particular laws of distribution fields the potential energy functional of elastic deformations with a glance of existence of temperature field is constructed. Then by minimization it in all local nodal values of movement the second resolution of equation, which solution allows to build the displacement field, the component deformation of tension is determined. Elaborated computational algorithm and approach is relatively universal in the sense of possibility of computational solution of steady problems of thermostressed condition of construction bearing components, which operate in condition of simultaneous existence of local temperature, thermal flows, heat exchange and heat conservation.
thermal flows
heat exchange
law of energy conservation
spline functions
1. Kudaykulov A.K. Matematicheskoe (konechno-elementnoe) modelirovanie prikladnykh zadach rasprostraneniya tepla v odnomernykh konstruktivnykh elementax. Turkestan: Bayterek, 2009. 168 р.
2. Kenzhegulov B.Z., Kudaykulov A.K., Myrzasheva A.N. Chislennoe issledovanie udlineniya sterzhnya iz zharoprochnego splava s uchetom nalichiya vsekh vidov istochnikov - Izvestiya vuzov. Bishkek, 2009. no. 4. pp. 3-7.
3. Nozdrev V.F. Kurs termodinamiki. Izd. «Prosveschenie». M., 1967.
4. Segerlind L. Primenenie metoda konechnykh elementov, Mir: M., 1979.
5. Berger I.A., Panovko Ya.G. Prochnost. Ustoichivost. Kolebaniya. Tom 1, M.: Mashinostroenie, 1968. 568 p.

Некоторые несущие элементы газотурбинных генераторов, водородных двигателей, парагенераторы атомных реакторов выполняются из специальных жаропрочных материалов. При этом локальные поверхности элементов теплоизолированы, через площади некоторых локальных поверхностей происходит теплообмен с окружающими этих поверхностей средами, а также на определенных локальных участках действуют температуры. В следствие этих несущих элементов возникает сложное термонапряженное состояние. В случае увеличения значений некоторых составляющих деформаций и напряжений больше чем предельных происходит разрушение этих несущих элементов. Поэтому разработка специальных вычислительных алгоритмов, методов и соответствующих прикладных программ, позволяющих численно исследовать установившееся термонапряженное состояние несущих элементов стратегических конструкций, является актуальной.

Материалы и методы исследования

Материалом несущего элемента конструкций был взят высококачественный жаропрочный сплав АНВ-300. вычислительный алгоритм и метод исследования ориентированного использования энергетического метода в сочетании с применением аппроксимационных сплайн функций.

Рассмотрим горизонтальный стержень из жаропрочного сплава АНВ-300, ограниченной длины L, см, и постоянного поперечного сечения F, см2. Коэффициент теплопроводности материала стержня Kхх, Вт/(см·°С), а модуль упругости через E, кГ/см2. Оба конца стержня жестко защемлены. Координатную ось Ox направим слева направо (рис. 1).

Через площади поперечных сечений обоих концов происходит теплообмен с окружающими их средами. Коэффициент теплообмена и температура окружающих сред для левого конца h0, Вт/(см2·°С) и Tос 0, °С. Аналогично для правого конца hL, Вт/(см2·°С) и Tос L, °С. При этом h0, hL, Tос 0, Tос L = const.

Боковая поверхность участков (0 ≤ xL/3) и (2L/3 ≤ xL) ( стержня считаем теплоизолированной. На участке (L/3 ≤ x ≤ 2L/3) стержня дана температура постоянной интенсивности Tз = const . При наличии вышеприведенных источников тепла и частичной теплоизоляции стержень расширется. Но из-за защемления обоих концов появляются сжимающие усилия R. В связи с этим и из-за неоднородного поля температуры во внутренних сечениях стержня возникает неоднородное поле напряжения. Составляющие деформаций будут εx, εT, ε, а напряжений σx, σT, σ. Требуется определить поле перемещения u = u(x) упругих деформации εx , температурных деформации εT , термоупругих деформаций ε, а также упругих, температурных и термоупругих напряжений σx, σT, и σ. Для этого рассматриваемый стержень дискретизируется квадратичными элементами с тремя точками. В пределах каждого дискретного элемента поле температуры перемещения аппроксимируется полными полиномами второго порядка [1].

 (1)

где 0 ≤ xl; l - длина дискретного элемента; узловые значения температуры

для каждого дискретного элемента. Аналогично определяются узловые значения перемещения ui, uj, uk.

φi(x), φj(x), и φk(x) функции формы для квадратного дискретного элемента, которые имеют следующие виды:

 (2)

где 0 ≤ xl сначала для каждого дискретного элемента пишется функционал полной тепловой энергии и они суммируются

 (3)

где  V1, V2, ..., Vn - объем дискретных элементов; F(x = 0) = F(x = L) площадь конечных сечений концов стержня. Далее, минимизируя функционал полной тепловой энергии, по узловым значениям температуры строится разрешающая система линейных алгебраических уравнений

 (4)

Решая эту систему уравнений определяется поле распределения температуры по длине стержня

T = T(x), 0 ≤ xL. (5)

Далее для каждого элемента пишется выражение функционала потенциальной энергии упругих деформаций с учетом наличия поля температур. Суммировав их по всем дискретным элементам, находим выражение соответствующего функционала для рассматриваемого стержня в целом. Здесь следует отметить, что поле распределения температуры и коэффициента теплового расширения определяются исходя из найденного поля распределения температуры и экспериментальной зависимости α = α(T(x)). Далее минимизируя функционал потенциальной энергии других деформаций, по узловым значениям упругих перемещений строится разрешающая система линейных алгебраических уравнений. При этом, если число дискретных элементов в стержне будет n (где n натуральное положительное число), то число узлов в стержне будет 2n + 1. Но так как оба конца стержня жестко защемленные, то перемещение крайних узлов будет равно нулю, т.е. u1 = u2n+1 = 0. Поэтому минимизация функционала, характеризующего потенциальную энергию упругих деформаций при наличии поля температур минимизируется по узловым перемещениям

 (6)

Решая последнюю систему, находим узловые значения перемещения. Далее по соотношениям Коши и законам Гука определяются значение составляющих εx, εT, ε, σx, σT, σ в заданных сечениях стержня. Принимаем за исходные следующие данные:

L = 30 см; r = 1 см; F = π·r2 = π см2;
Kхх = 100 Вт/(см·°С); hL = 10 Вт/(см2·°С); Tос 0 = Tос L = 40°C; T = const = 800°C.

Результаты исследования и их обсуждение

Целью исследования является разработка вычислительного алгоритма, позволяющего численно исследовать установившееся термонапряженное состояние стержней ограниченной длины выполненных из жаропрочных материалов и находящихся под одновременным воздействием локальной температуры, теплообмена и теплоизоляции.

При фиксированных этих значениях варьируем значением h0 = 7,5; 10; 15; 30 Вт/(см2·°С). Сначала принимаем h0 = 7,5 Вт/(см2·°С). Поле распределения перемещения, составляющих деформаций и напряжений для h0 = 30 Вт/(см2·°С)приводится на рис. 2.

Рис. 2. Поле распределения упругих перемещений по длине стержня для случая h0 = 30 Вт/(см2·°С)

Из этого рисунка видно, что сечения на участке 0 < x < 17,6 см стержня перемещаются против направления оси Ох. В то время перемещение в сечении, координата которого x = 17,65 см будет равно нулю. Наибольшее перемещение против оси Ох соответствует к сечению с координатой x = 7,3 см. Значение перемещения против направления оси Ох этого сечения равно u74 = -0,0229 см. Все сечения стержня, которые находятся на участке 17,8 ≤ x < 30 см, перемещаются в направлении оси Ох. При этом наибольшее перемещение соответствует сечению, координата которого x = 23,9 см. Значение этого перемещения u240 = 0,011188 см. Из этой таблицы видно, что , или конкретно .

Поле распределения составляющих деформаций и напряжения по длине рассматриваемого стержня приводится на рис. 3. Из рис. 3 видно, что на участках 0 < x ≤ 7,25 см и 23,85 ≤ x < L = 30 см стержня упругая составляющая деформации ведет себя сжимающей. На серединной части она будет иметь растягивающий характер. Остальные составляющие деформации, т.е. εT и ε по всей длине стержня будут сжимающими. Из этого же рисунка видно, что εT и ε являются симметричными относительно прямой ε = 0,0000046x - 0,0072502.

Поле распределения составляющих компонентов напряжений по длине стержня приводится на рис. 4. Из этого рисунка и таблицы видно, что поведение упругой составляющей напряжение σx на участках 0 < x ≤ 7,25 см и 23,85 ≤ x < L = 30 см будет сжимающей. При этом на серединной части стержня 7,25 ≤ x < 23,85 см она ведет себя растягивающей. Остальные обе составляющие напряжение, т.е. σТ и σ по всей длине стержня будут сжимающими. Кроме того, поле распределения составляющих напряжений σx и σ будут симметричными относительно прямой σ = 9,32956x - 14502,066 [2].

Резюмируя проведенный численный эксперимент, можно построит следующую сравнительную таблицу.

Рис. 3. Поле распределения составляющих деформаций по длине стержня для случая h0 = 30 Вт/(см2·°С)

Рис. 4. Поле распределения напряжений по длине стержня h0 = 30 Вт/(см2·°С)

Сравнительная таблица Влияние коэффициента теплообмена h0, Вт/(см2·°С), на термонапряженно-деформированное состояние исследуемого стержня

№ п/п

h0,
Вт/(см2·°С)

umin, см

Координата соответственного сечения, см

umax, см

Координата соответственного сечения, см

σmax,
кГ/см2

σср,
кГ/см2

Координата серединной точки, где u = 0, см

1

7,5

-0,0113

x = 6,6

0,015

x = 23,1

-33166

-29706,25

x = 14,05

2

10

-0,01405

x = 6,7

0,01405

x = 23,3

-32885,9

-29181

x = 15

3

15

-0,0177

x = 7,1

0,01282

x = 23,5

32514,3

-28484,3

x = 16,295

4

30

-0,0229

x = 7,3

0,011188

x = 23,9

-31991

-27503

x = 17,695

Заключение

Анализируя эту таблицу, можно сделать следующие выводы:

  • при увеличении значения h0 увеличивается амплитуда перемещений против направления оси Ox;
  • при увеличении значения h0, координата сечения, амплитуда перемещения которого будет наибольшим, увеличивается;
  • при увеличении значения h0, амплитуда перемещения по направлению оси Ox уменьшается;
  • при увеличении значения h0, максимальное и среднее значения термоупругого напряжения σ уменьшается.

Разработанный вышеизложенный вычислительный алгоритм, метод и комплекс прикладных Delphi программ позволяет провести серии вычислительных экспериметров по численному исследованию термонапряженного состояния несущих элементов конструкций в зависимости от влияния действующих локальных источников тепла различного рода.

Рецензенты:

  • Боранбаев С.Н., д.т.н., профессор, профессор кафедры «Информационные системы» Евразийского национального университета имени Л.Н.Гумилева Министерства образования и науки Республики Казахстан, г. Астана.
  • Искаков К.Т., д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой «Вычислительная техника» Евразийского национального университета имени Л.Н.Гумилева Министерства образования и науки Республики Казахстан, г. Астана.

Работа поступила в редакцию 27.02.2012.