Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,222

MATHEMATICAL MODELING OPERATION OF THE DEVICE FOR OBSERVATION A HORIZONTAL POSITION OF THE BUILDING PONTOON THAT WERE ON A SURFACE OF WATER

Chernikov A.V. 1
1 Perm State University, Perm
При застреливании в грунт строительных элементов из артиллерийского орудия, ствол которого расположен вертикально к поверхности качающейся платформы с размещенной на ней пушкой, находящейся на поверхности воды, может возникать ситуация, когда платформа принимает не строго горизонтальное положение. Это приводит к невертикальному застреливанию строительного элемента в дно водоема. Для исключения подобных случаев необходимо использовать устройство отслеживания горизонтального положения качающейся платформы. В статье предлагается математическая модель устройства отслеживания горизонтального положения строительного понтона, находящегося на водной поверхности. На основе численных экспериментов анализируется поведение устройства при наличии внешних источников колебания.
At immersing in a ground the building element from an artillery gun which trunk is located vertically to a surface of oscillating platform with the gun placed on a surface of water, there may be a situation when the platform accepts not strictly horizontal position. It reduces in not vertical immersing a building element in a bottom of a reservoir. For elimination of similar cases it is necessary to use the device’s observation a horizontal position of oscillating platform. In paper the mathematical model of the device’s observation a horizontal position of the building pontoon that were on a water table is offered. On the basis of numerical experiments the behavior of the device is analyzed at presence of exterior source of oscillation.
mathematical model
waves
control system
pontoon

При застреливании в грунт строительных элементов из артиллерийского орудия, ствол которого расположен вертикально к поверхности качающейся платформы с размещенной на ней пушкой, находящейся на поверхности воды, может возникать ситуация, когда платформа принимает не строго горизонтальное положение. Это приводит к невертикальному застреливанию строительного элемента в дно водоема. Для исключения подобных случаев необходимо использовать устройство отслеживания горизонтального положения качающейся платформы. Определение горизонтального положения платформы, качающейся на водной поверхности, особенно важно в связи с необходимостью автоматического производства выстрела в момент, соответствующий ее строгому горизонтальному положению на водной поверхности.

Целью статьи являются описание принципиальной схемы устройства, отслеживающего вертикальное положение ствола (горизонтального положения платформы) и разработка его математической модели. На конструкцию устройства получен патент РФ на изобретение [1].

Устройство отслеживания вертикального положения ствола строительного артиллерийского орудия на качающейся платформе (или горизонтального положения качающейся платформы) [1] состоит из трех вложенных друг в друга полусфер 1, 2, 4, внутренняя 2 и внешняя 1 полусферы жестко установлены на качающейся платформе 3, промежуточная полусфера свободно перемещается между ними, все полусферы имеют в нижней части отверстия 5, 6, при этом промежуточная полусфера в районе отверстия снабжена утяжелителем 7. Причем при строго горизонтальном положении платформы отверстия всех полусфер, источник света 8, размещенный во внутренней полусфере, и фотодиод 9, размещенный за внешней полусферой - расположены на одной оси 10, направленной к центру земли. Между полусферами размещена прозрачная смазка 11 (рис. 1).

Система работает следующим образом: при колебании качающейся платформы относительно оси силы тяжести платформа принимает положение, где отверстия 5, 6 и фотодиод оказываются на одной оси 10, луч света от источника света 8 попадает на фотодиод 9, замыкая электрическую цепь, проходящую через фотодиод 9, тем самым осуществляя электрическое воспламенение порохового заряда при использовании порохового механизма, вертикально расположенного относительно поверхности платформы ствола артиллерийского орудия.

pic

Рис. 1. Схема устройства отслеживания горизонтального положения качающейся платформы

pic

Рис. 2. Промежуточная полусфера устройства отслеживания вертикального положения ствола строительного артиллерийского орудия,
где 1 - промежуточная полусфера; 2 - утяжелитель; 3 - ось, направленная к центру земли

Построим математическую модель устройства отслеживания горизонтального положения качающейся платформы. Для этого рассмотрим колебания промежуточной полусферы устройства (рис. 2).

Согласно теории классической механики, примененной для описания движения промежуточной полусферы, воспользуемся уравнением вынужденных колебаний для физического маятника [2]:

f  (1)

где I - момент инерции полусферы и утяжелителя относительно оси О; φ - угол отклонения маятника от положения равновесия; mут - масса утяжелителя в низу полусферы; mпс - масса полусферы; d - расстояние между осью вращения О и центром масс C; A - амплитуда колебания волны; ω - циклическая частота колебания волны.

Момент инерции полусферы относительно центра масс С равен [2]:

f

где f - момент инерции сферы относительно центра масс С; М = 2mпс - масса сферы.

Утяжелитель представляет собой сплошной цилиндр массы mут с внешним радиусом R2 и внутренним радиусом R1. Соответственно момент инерции относительно центра масс С равен [2]:

f

Момент инерции полусферы и утяжелителя относительно оси вращения О равен сумме моментов инерции составных частей и удовлетворяет соотношению:

f (2)

Подставив в уравнение (1) полученное значение для момента инерции полусферы и утяжелителя (2), получим:

f (3)

На основе теории обыкновенных дифференциальных уравнений найдем решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (3) с постоянными коэффициентами, предварительно сделав следующие замены:

f

f

Решение дифференциального уравнения (3) представляет собой функцию:

f

где С1 и С2 произвольные константы, зависящие от конкретных начальных условий задачи Коши.

Найдем решения дифференциального уравнения (3) для некоторых случаев. Представим их в табл. 1. При расчетах используем математический пакет MathCad [3].

Таблица 1

Решения дифференциального уравнения для устройства отслеживания горизонтального положения качающейся платформы

Начальные условия задачи Коши

mпс, кг

mут, кг

ω, рад/с

Т, с

T2, с

φ(0) = 0, φ´(0) = 0

0,5

0,7

7

0,25

0,35

φ(0) = 0, φ´(0) = 0

0,1

0,7

7

0,20

0,10

φ(0) = 0, φ´(0) = 0

0,1

2,0

7

0,35

4,50

φ(0) = 0, φ´(0) = 0

0,1

0,15

7

0

0

φ(0) = 0, φ´(0) = 0

0,1

0,15

10

0,05

0,03

φ(0) = 0, φ´(0) = 0

0,1

0,15

2

0

0

φ(0) = 0,2, φ´(0) = 0

0,1

0,15

7

0,10

-1,05

φ(0) = 0,2, φ´(0) = 1

0,1

0,15

7

0,15

-1,00

φ(0) = 0,2, φ´(0) = 0,5

0,1

0,15

7

0,15

-0,90

φ(0) = 0,5, φ´(0) = 0

0,1

0,15

7

0,20

-0,80

φ(0) = 0,5, φ´(0) = 1

0,1

0,15

7

0,20

-0,60

Примечание. Т - разность времен достижения горизонтального положения качающейся платформы и волны (φ(t) = 0 - горизонтальное положение) при первом колебании, Т2 - разность времен достижения горизонтального положения качающейся платформы и волны (φ(t) = 0 - горизонтальное положение) при третьем колебании платформы на воде.

Пусть постоянными параметрами в дифференциальном уравнении (3) будут d = 0,4 м, R1 = 0,05 м, R2 = 0,01 м, A = 0,2 м.

Анализ результатов, приведенных в табл. 1, показывает, что при увеличении mут более чем на 0,5 кг в системе может наблюдаться противофаза колебаний подвижной полусферы и волны водной поверхности, на которой находится платформа. При выполнении условий mпс = 0,1 кг, mут = 0,15 кг система при первом колебании может неверно определять горизонтальное положение качающейся платформы, а при последующих колебаниях могут возникать собственные колебания подвижной полусферы.

Исходя из сказанного следует вывод о том, что необходимо ввести фиксацию промежуточной полусферы устройства отслеживания вертикального положения ствола строительного артиллерийского орудия и временную задержку для исключения неверных показаний системы.

Рассмотрим устройство отслеживания горизонтального положения качающейся платформы с фиксацией промежуточной полусферы. Работа устройства и математическая модель аналогичны описанным выше. Отличие заключается в следующем: устройство дополнено двумя заслонками промежуточной полусферы, необходимыми для фиксации промежуточной полусферы между выстрелами; двумя электромагнитами, приводящих в движение заслонки; одной заслонкой отверстия во внешней полусфере фотодиода, открывающейся с временной задержкой после открытия заслонок промежуточной полусферы, необходимой для корректной работы системы в момент ее запуска. Схема устройства представлена на рис. 3.

pic

Рис. 3. Схема устройства отслеживания горизонтального положения качающейся
платформы с фиксацией промежуточной полусферы:
1 - внутренняя полусфера, 2 - внешняя полусфера, 3 - качающаяся платформа,
4 - промежуточная полусфера, 5 - отверстие во внутренней полусфере, 6 - отверстие
в промежуточной полусфере, 7 - утяжелитель, 8 - источник света, 9 - фотодиод, 10 - единая ось, направленная к центру земли, 11 - прозрачная смазка, 12 - заслонка промежуточной полусферы, 13 - заслонка промежуточной полусферы, 14 - электромагнит, 15 - электромагнит, 16 - заслонка отверстия внешней полусферы, 17 - отверстие внешней полусферы,
18 - привод управления заслонкой отверстия внешней полусферы

Отличие математической модели последнего устройства от математической модели устройства, изображенного на рис. 1, заключается в начальном условии. Для последнего устройства всегда выполняется условие φ´(0) = 0. Амплитуда колебаний в начальный момент времени не может быть больше амплитуды вынуждающей силы - амплитуды волны водной поверхности, на которой расположена платформа с артиллерийским орудием. Используя пакет MathCad [3], легко найти решения дифференциального уравнения (3) для данного случая.

Пусть постоянными параметрами в дифференциальном уравнении (3) будут d = 0,4 м, R1 = 0,05 м, R2 = 0,01 м.

Анализ полученных результатов показывает, что

1) необходимо уменьшение массы утяжелителя и полусферы;

2) внедрение в систему фиксаторов промежуточной полусферы позволяет избавиться от свободных колебаний системы и противофазы собственных колебаний системы и колебаний волны;

3) существует необходимость внедрения задержки открытия заслонки перед фотодиодом снятия фиксации в работе системы.

Таблица 2

Решения дифференциального уравнения для устройства отслеживания горизонтального положения качающейся платформы с фиксацией промежуточной полусферы

Начальные условия задачи Коши

mпс, кг

mут, кг

ω, рад/с

A, м

Т, с

Т2, с

φ(0) = 0.1, φ´(0) = 0

0,1

0,15

7

0,2

0,05

-1,00

φ(0) = 0.2, φ´(0) = 0

0,1

0,15

7

0,2

0,05

-0,90

φ(0) = 0.2, φ´(0) = 0

0,1

0,15

10

0,2

0,25

-0,25

φ(0) = 0.5, φ´(0) = 0

0,1

0,15

10

0,5

0,20

-0,25

φ(0) = 1, φ´(0) = 0

0,1

0,15

10

1,0

0,20

-0,25

φ(0) = 1, φ´(0) = 0

0,05

0,1

10

1,0

0,10

0

φ(0) = 1, φ´(0) = 0

0,05

0,05

10

1,0

-0,03

0


Рецензенты:

Пенский О.Г., д.т.н., зам. декана механико-математического факультета по научной работе ГОУ ВПО «Пермский государственный университет», г. Пермь;

Тарунин Е.Л., д.ф.-м.н., профессор профессор кафедры прикладной математики и информатики ГОУ ВПО «Пермский государственный университет», г. Пермь.

Работа поступила в редакцию 28.04.2011.